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Análise de circuitos através de fasores

Com os conceitos de impedância e fasores analisaremos os diferentes circuitos típicos



Circuito RL série


Diagrama fasorial


Podemos também obter um diagrama de impedâncias. Basta fazer a divisão das tensões pela corrente.




Z é a oposição total oferecida a passagem da corrente e é dada em ohms (Ω).

O diagrama de impedâncias ficará então:




Exemplo: para o circuito a seguir, calcular a corrente e as quedas de tensão, montando o diagrama fasorial:















Exemplo: para o circuito abaixo, calcular o valor das potências ativa, reativa e aparente e montar o triângulo de potências.











Circuito RC série

Sabemos que VR está em fase com a corrente e VC está atrasada 90º da corrente. Sabemos também que a soma fasorial de VR e VC nos dá a tensão aplicada E.


Podemos extrair as seguintes relações:


Dividindo-se todos os componentes do diagrama pela corrente, temos:


Logo, o diagrama de impedâncias será:




Donde:




Exemplo: calcular a corrente, o ângulo de fase e as quedas de tensão no circuito abaixo, montando o diagrama fasorial.













Potências
































Triângulo de potências

O triângulo de potências para um circuito RC série só difere do circuito RL série pela posição em que fica a potência reativa. Vimos que no circuito RL a potência reativa é positiva. No circuito RC série, ela é negativa.

Exemplo: calcular as potências ativas, reativa e aparente, montando o triângulo de potências para o circuito abaixo:
















Circuito RLC série
O circuito RLC série é uma composição em série dos três tipos de circuitos puros.

Diagrama fasorial





Deste diagrama, podemos extrair as relações trigonométricas para o circuito RLC série.










Dividindo-se todos os elementos do diagrama pela corrente, teremos o diagrama de impedâncias.










Exemplo: calcular a corrente, todas as quedas de tensão e montar o diagrama fasorial para o circuito abaixo:



















Potências no circuito RLC série



QC = potência reativa capacitiva (VAr)

QL = potência reativa indutiva (VAr)
A potência reativa total (Q) é dada por:

Ou:




Exemplo: no circuito abaixo, calcular as potências ativa, reativa e aparente e montar o triângulo de potências:



















Associações de componentes

Resistência equivalente

Indutância equivalente





Le = indutância equivalente (H)

XLe = reatância indutiva equivalente (Ω)

L1, L2, L3 = indutâncias componentes (H)

XL1, XL2, XL3 = reatâncias indutivas componentes (Ω)


Na associação em paralelo, temos:

Para duas indutâncias:


Capacitância equivalente

A capacitância equivalente de associação paralela é dada pela soma das capacitâncias componentes. A reatância capacitiva equivalente é calculada pelas mesmas fórmulas da resistência em paralelo, ou seja:








Ce = capacitância equivalente (F)

XCe = reatância capacitiva equivalente (Ω)

C1, C2, C3, Cn = capacitâncias componentes (F)

XC1, XC2, XC3, XCn = reatâncias capacitivas componentes (Ω)


Para duas reatâncias:


Na associação série, a capacitância e a reatância capacitiva são dadas por:





Para duas capacitâncias:



Modelo real do transformador (parâmetros do transformador)

Relação de Transformação

É a relação que existe entre a tensão ou corrente do primário e a tensão ou corrente do secundário de um transformador.



Para o transformador a vazio, tem-se o que se convencionou a chamar de relação de transformação teórica;

a = (1)

Em que E1 e E2 são os valores eficazes das fem (forças eletromotrizes) induzidas nos enrolamentos primário e secundário respectivamente. A partir da figura acima se pode construir o circuito equivalente de um transformador a vazio, mostrado abaixo:



Onde:


r1 → resistência do enrolamento primário;

x1 → reatância de dispersão do enrolamento primário=2 f L1

E1 → fem (força eletromotriz) induzida no primário;

r2 → resistência do enrolamento secundário;

x2→ reatância de dispersão do enrolamento secundário=2 f L2

E2 → fem (força eletromotriz) induzida no secundário.



Modelo real do transformador

Portanto

Re1 = (R1 + a2 R2)

Re1 = 2a2R2 = 2R1, do mesmo jeito para a reatância indutiva equivalente:

XLe1 = 2a2XL2 = 2XL1

R2 = R1 =

XL2 = XL1 =

Os valores R , XL e Z são determinados pelos ensaios em curto circuito e circuito aberto de transformador.



Determinação dos parâmetros no ensaio de curto circuito

Para o circuito primário tem-se uma corrente de curto circuito Icc medida e uma tensão de curto circuito Vcc mede-se também a potência de curto circuito.

Ze = Impedância equivalente primária calculada a partir dos valores de corrente e tensão na condição de curto circuito

Pcc = I2cc Re1 => Da potência de curto circuito podemos calcular Re1

Re1 =

Ze1 =

XLe1 = => Podemos calcular a reatância indutiva primária

Os parâmetros do transformador em função dos valores obtidos no ensaio de curto circuito e circuito aberto:

2a2R2 = Re1 2R1 = Re1

2a2XL2 = XLe1 2XL1 = XLe1



Determinação dos parâmetros no ensaio de circuito aberto

Como vemos no desenho do modelo de transformador real existe uma corrente de magnetização, necessária para que o transformador trabalhe, a potência dissipada por esta corrente é chamada de perdidas de ferro.

Como o fio de cobre apresenta uma resistência ôhmica pura ao circular uma corrente por ela se produz uma potência por efeito Joule I2Rcu, esta potência perdida no cobre depende da magnitude da corrente que circula. No entanto a perda de ferro e um valor fixo.

Assim:


Pfe = Potência indicado pelo watímetro quando o transformador esta em aberto e tem um valor fixo.

Pcu = Potência dissipada no fio de cobre em função da magnitude da corrente que circula.





Com a montagem do ensaio em curto-circuito, os instrumentos permitem a obtenção de:

Pcc → Potência fornecida ao transformador em curto;

Vcc → Tensão de curto-circuito medida no enrolamento de AT;

I1n, I2n → Correntes nominais nos dois enrolamentos.

Exercícios

1) Calcule a tensão de entrada no primário de um transformador ensaiado a vazio com os seguintes parâmetros:

r1 = 32 Ω

f = 60 Hz

L1 = 45 mH

I0 = 3,2 + j4,6 A

E1 = 276 - j 49 V

2) Calcule a fem (força eletromotriz) induzida no primário de um transformador ensaiado a vazio, onde foi aplicada uma tensão de entrada de 127 + j 100 volts, dando os seguintes valores:

r1 = 2,4 Ω

x1 = 32 Ω

I0 = 7,2 – j 5,6 mA

3) Um transformador distribuição de 500kva 2300/208 , 60hz teve seus testes de aceitação constando de um ensaio a vazio e um de curto circuito, antes de ser colocado em serviço como transformador abaixador . A partir desses ensaios deve se calcular seus parâmetros:

Ensaio a vazio: Vob = 208V Iob= 85A Po = 1800w

Ensaio de curto circuito Vcc = 95V Icc = 217,5A Pcc=8,2kw
Valores Unitários (sistema por unidade)
O sistema "por unidade", ou, mais brevemente, sistema p.u., consiste na definição de valores de base para as grandezas (tensão, corrente, potência, etc.), seguida da substituição dos valores das variáveis e constantes (expressas no Sistema Internacional de unidades) pelas suas relações com os valores de base pré-definidos. Para uma grandeza G o valor em p.u. numa base Gb obtém-se então através da expressão Gpu=G/Gb.
Exemplo 1:

Numa base de corrente Ib=50 A, a corrente I=30 A terá o valor

Os cálculos serão realizados no sistema p.u., e os resultados finais novamente convertidos para o S.I. através de G=Gpu.Gb, ou seja, multiplicando o valor em p.u. pelo valor da base.

Bases

Dadas as relações existentes entre as unidades só poderão definir-se duas bases independentes a partir das quais se calculam todas as outras. Num sistema de energia definem-se vulgarmente como bases independentes a potência aparente total Sb para o sistema e a tensão composta Vb num barramento determinado.

Por sua vez, as bases de impedância e corrente calculam-se através das expressões:

, (caso monofásico) (caso trifásico)

Mudança de base

O valor em pu que se deseja expressar numa outra base deve-se obter primeiramente seu valor na base atual, após dividir-se pela base nova.

Uma aplicação imediata da expressão anterior é a transformação dos valores das características das máquinas elétrica, habitualmente dados em percentagem dos valores nominais da máquina, para valores em p.u. nas bases do sistema. Os dois exemplos seguintes ilustram essa aplicação.

Exemplo 2:

A reatância transitória de um alternador de 50 MVA, 10 kV é x'=12%. As bases da rede são, na zona do alternador, Sb=100 MVA e Vb=11 kV.

Calcule seu valor em p.u. na nova base

1- Obtemos o valor na base atual

= = 2 => = 0,12 x 2 = 0,24

2- Calcular a nova base



= 1,21
3- Expressando o valor na nova base

0,198 PU

Exemplo 3:

A reatância de fugas (ou tensão de curto-circuito, Ucc) de um transformador de 30 MVA, 60/16 kV, é xf=8%. A base de potência da rede é Sb=50 MVA, e as bases de tensão nas zonas do primário e secundário são, respectivamente, Vbp=56,25 kV e Vbs=15 kV.
Encontre a expressão para a reatância em p.u. usando como base a rede

1 Encontrar o valor de base usado



= = 120 => = 0,08 x 120 = 9,6

2- Calcular a nova base



= 63,28
3- Expressando o valor na nova base

0,152 PU

(Repare que igual valor se obteria se usassem 60 e 56,25 kV em vez de 16 e 15 kV).



O Autotransformador

O transformador analisado pressupõe isolação entre o primário e o secundário, existe uma outra combinação entre as polaridades do transformador relacionando o primário com o secundário formando um único bobinado. Esta outra disposição não só permite outras opções de tensões se não também um aumento de potência.

Ligações de um transformador como autotransformador abaixador e elevador.

Esta nova disposição de circuitos também segue as equações dos transformadores já vistas.

Deve-se tomar cuidado com a corrente nas configurações abaixador e elevador.

Autotransformador como abaixador,

I2= I1 + Ic

Autotransformador como elevador

I1 = I2 + Ic

Autotransformador como elevador

Ex: Para o transformador isolado de 10KVA 1200/120 V, ligado como autotransformador com polaridade aditiva e subtrativa.



  1. A capacidade original do enrolamento de 120V em Amperes.

  2. A capacidade original do bobinado do enrolamento de 1200V em Amperes.

  3. A capacidade do autotransformador usando na configuração aditiva

  4. Acréscimo percentual da capacidade do transformador em relação ao transformador isolado.

Utilizando o autotransformador na configuração subtrativa

  1. A capacidade original do enrolamento de 120V em Amperes.

  2. A capacidade original do bobinado do enrolamento de 1200V em Amperes.

  3. A capacidade do autotransformador usando na configuração substrativa .

  4. Acréscimo percentual da capacidade do transformador em relação ao transformador isolado


Autotransformador como abaixador

Repita o exemplo anterior, para o transformador isolado de 10Kva 1200/120v, ligado como autotransformador abaixador, com polaridade subtrativa.

Exercícios:

1- Ao realizar o ensaio de curto-circuito em um transformador:

a) Por que é o lado de baixa tensão que é usualmente curto-circuitado.

c) Por que são consideradas desprezíveis as perdas no núcleo de um transformador.

d) Como se determinam as perdas no cobre na operação em curto-circuito.

e) Qual a tensão necessária para a realização do ensaio em curto-circuito.

f) Desenhe o circuito equivalente de um transformador.

g) Defina: seus parâmetros

k) Qual a influência da polaridade em transformadores monofásicos e trifásicos.
Polaridade em transformadores trifásicos

Isolando-se eletricamente cada uma das fases podemos realizar o teste de polaridade do mesmo modo que para os transformadores monofásicos.









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