Capítulo 16 Experimentos: planejamento e superfície de resposta



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Capítulo 16 Experimentos: planejamento e superfície de resposta
16.1 Introdução

16.2 Planejamento: quantos ensaios são necessários para delinear um experimento?

16.3 Exemplo: delineamento central composto

16.4 Regressão múltipla e superfície de resposta

16.5 Conclusões e sugestões

16.6 Questões e exercícios

16.7 Referências
Figura 1.1 – O ciclo PDCA da metodologia científica

Figura 16.1 – Delineamento simples da reta

Figura 16.2 – Delineamento central completo, valores originais dos fatores X e Z

Figura 16.3 – Delineamento central completo, valores codificados dos fatores X e Z

Figura 16.4 - As combinações de C e F devem respeitar T = 10 e torque igual a 500
Tabela 16.1 – Ensaios para k = 2 e dois níveis: 2k = 4

Tabela 16.2 – Acrescentados valores centrais

Tabela 16.3 – Delineamento central composto

Tabela 16.4 – Experimento de otimização da qualidade do assento de automóvel, 18 ensaios

Tabela 16.5 – Primeiros resultados, equação completa, todas as variáveis

Tabela 16.6 – Últimos resultados, equação reduzida

Tabela 16.7 – Combinações dos fatores seguindo a equação estimada

16.1 Introdução


Aplicar experimentos na linha de produção ou no laboratório da empresa é uma atividade essencial para melhorar qualidade do produto e do processo. Parar, pensar e experimentar leva tempo e consome recursos, mas não há outra maneira de procurar melhorias. Sendo uma atividade de alto gasto, deve desenvolver métodos de planejamento e análise que são rápidos e produzem resultados claros e operacionais. Na próxima seção vamos abordar o problema de tamanho e composição das amostras. Dado o número de variáveis envolvidos e a precisão dos resultados exigida, quantos ensaios de combinações de níveis das variáveis são necessários? Na seção 16.3, a análise dos resultados será apresentada com a utilização de regressão múltipla, com algumas modificações usuais na forma das equações para incluir a possibilidade de captar efeitos não lineares entre variáveis de resposta (dependentes) e variáveis independentes (fatores).
O planejamento e análise de experimentos são diretamente relacionados com a metodologia cientifica adaptada à indústria pelo Shewhart, o famoso ciclo de PDCA. Repetimos aqui a figura 1.1 para enfatizar o papel central de experimentos na melhoria da qualidade.

Figura 1.1 – O ciclo PDCA da metodologia científica


Planejar e fazer experimentos, averiguar os resultados, e levar os novos conhecimentos para a linha de produção não deve ser uma atividade empresarial aplicada irregularmente na empresa, mas sim algo vivo e constante, em movimento contínuo.
16.2 Planejamento: quantos ensaios são necessários para delinear um experimento?
O número de ensaios necessário para definir relações entre variáveis depende diretamente do número de variáveis no experimento e a precisão do resultado exigido. O caso mais simples é de um único fator que afeta uma variável de resposta. Em outras palavras, quantos dados são necessários para definir a relação linear Y = a + bX? Um valor para cada variável não é suficiente para definir a relação, correspondendo no gráfico de dispersão XY a um único ponto sem intercepto (a) e sem inclinação (b). Por sinal, pelo menos dois pontos são necessários para definir a reta da equação. Veja a figura 16.1

Figura 16.1 – Delineamento simples da reta


Na figura um aumento de 3 para 4 em X é associado ao declínio de Y de 2 para 1. Considerando que cada variável tem dois níveis, o número de ensaios necessário para delinear o experimento é no mínimo dois, um ensaio com X = 3 e outro com X = 4. Com os valores de a e b, a equação é Y = 5 – X.
Se tiver dois fatores, X e Z, a relação linear é Y = a + bX + cZ. Para captar o impacto do fator Z em Y, terá a necessidade de levantar pelo menos dois valores para Z. Nesse caso, o número de ensaios seria 4. Veja a tabela 16.1 com valores de X e Z dos quatro ensaios. Há uma expressão simples para calcular o número e o arranjo dos ensaios, um delineamento fatorial 2k, onde k é o número de fatores em 2 níveis, um máximo e um mínimo, cada. O número de níveis de cada fator é no mínimo 2, mas se forem buscados resultados estatísticos, como testes de hipótese e intervalos de confiança, e não linearidades, o número de níveis pode ser aumentado.


Reposta

Fatores




Y

X

Z

Ensaio

2

3

5

1

1

4

4

2

1

3

4

3

1

4

5

4

Tabela 16.1 – Ensaios para k = 2 e dois níveis: 2k = 4

.

Abstraindo de qualquer tentativa de análise estatística da significância dos coeficientes por enquanto, os resultados numéricos dos ensaios da tabela 16.1 produzem a equação Y = 0,75 - 0,5X + 0,5Z.



Alem do delineamento experimental fatorial, existem outros arranjos de delineamento, com valores centrais, e axiais. Depois que o pesquisador definiu uma região de valores relevantes dos fatores através de um delineamento fatorial, escolhendo valores com limites bem definidos que afetam a variável de resposta, é interessante levantar mais valores experimentais aos fatores e acrescentar novos ensaios ao experimento. Vamos apresentar o delineamento central composto de Box-Wilson (1951). O delineamento é clássico e pioneiro e apesar dos quase 60 anos da incepção, é ainda muito popular.

O pesquisador poderia calcular os valores centrais no meio dos limites dos fatores, e incluir estes valores no arranjo dos ensaios. No caso dos dados da tabela 16.2, os valores centrais são 3,5 para X e 4,5 para Y. Embora na tabela 16.2 os valores centrais apareçam apenas uma única vez, é comum repetir esses valores centrais várias vezes em ensaios independentes, três ou quatro vezes. Com mais valores levantados para os fatores e no meio dos dados, não linearidades podem ser revelados com mais segurança e os testes estatísticos são mais confiáveis.




Y

X

Z

2

3

5

1

4

4

1

3

4

1

4

5

1,5

3,5

4,5

Tabela 16.2 – Acrescentados valores centrais
Finalmente, complementando os valores centrais, parece intuitivo acrescentar aos ensaios valores dos fatores que representam os extremos, chamados axiais. O valor fixado como extremo nos fatores segue uma formulação matemática definida que não será explorada aqui, apenas aplicada. Usa-se o multiplicador de (2k)1/4. Se o número de fatores é (k =) 2, então o multiplicador é 41/4 = 1,414. Em outras palavras, se o valor máximo e mínimo de X for igual a um e menos um (-1) respectivamente, então o valor extremo será 1,414 e -1,414. Para as variáveis do exemplo em tabela 16.2, os valores máximos e mínimos para X calculados com o multiplicador 1,414 são 4,207 e 2,793. Para Z, são 5,207 e 3,793.
Codificação dos valores dos ensaios embora não necessário para desenvolver os experimentos é uma prática comum. O valor numérico do nível maior do fator leva valor 1 e o nível menor -1. Com isso, o valor central codificado pega o valor zero. Não é difícil alternar valores entre unidades originais e codificadas. Codificação não deve ter nenhuma implicação técnica sobre os resultados da análise, mas pode ajudar na compreensão do experimento. Portanto, codificar ou não é uma decisão que depende das preferências de cada pesquisador.
16.3 Exemplo: delineamento central composto
Na tabela 16.3, nota-se a configuração dos valores de X e Z dos ensaios sugeridos. Nas primeiras quatro linhas, temos o delineamento fatorial de 2k.






Reposta

Fatores originais

Fatores codificados




Y

X

Z

X

Z

fatorial

2

3

5

-1

1

1

4

4

1

-1

1

3

4

-1

-1

1

4

5

1

1

central

1,5

3,5

4,5

0

0

axial

0,5

4,207

4,5

1,414

0

0,7

2,793

4,5

-1,414

0

3

3,5

5,207

0

1,414

4

3,5

3,793

0

-1,414

Tabela 16.3 – Delineamento central composto
Em seguida tem uma linha com os valores centrais de X e Z. Finalmente, tem quatro ensaios com valores axiais. O delineamento central composto é na realidade muito popular e consistem em o fatorial (2k ensaios), o central (uma ou mais vezes), e o axial em 2k. Nas figuras 16.3 e 16.2 os diagramas de dispersão apresentam uma visualização dos valores de X e Z na forma de valores originais e codificados. Os valores para delineamento fatorial ficam nos quatro cantos da caixa, e o valor central fica no meio do arranjo.

Figura 16.2 – Delineamento central completo, valores originais dos fatores X e Z


Fica especialmente clara a terminologia para o delineamento axial na figura 16.2 dos valores codificados. Delineamento axial fica nos eixos do diagrama de XZ. No eixo de X, veja no lado esquerdo o par numérico de -1,414 e 0,0 e sua contrapartida no lado direito de 1,414 e 0,0. A mesma configuração consta no eixo vertical de Z.
a transformação de valores codificados para valores em unidades originais segue o raciocínio da equação
valor original = valor central + valor codificado*(máximo – mínimo)/2
por exemplo, na tabela 16.3 o primeiro valor axial da variável X é 1,414 codificado, e seguindo a formula, o valor em unidades originais é
4,207 = 3,5 + 1,414*0,5

Figura 16.3 – Delineamento central completo, valores codificados dos fatores X e Z


Com os dados da tabela 16.3, foi estimada a equação em termos não lineares, e o resultado sem nenhuma consideração estatística é,
Y = 20,26 + 22,4X – 25,4Z - 2,6X2 + 3,2Z2 – XZ
A equação mostra uma relação não linear entre os fatores e a resposta em função da presença de quadrados e interações. É com esses conceitos que a superfície de resposta e, por seguinte, a combinação ótima de fatores são elaboradas, aplicando princípios estatísticos. São assuntos da próxima seção.
16.4 Regressão múltipla e superfície de resposta
Nesta seção, apresentamos um exemplo do chão da fábrica do setor automobilístico para ilustrar a simplicidade e utilidade da atividade de experimentos para aumentar eficiência e qualidade de produtos e processos, buscando soluções que minimizam custos. O exemplo é da área de soldaduras. Foram isoladas três variáveis que podem ser controladas na linha de produção afetando diretamente o torque da soldadura da estrutura metálica de um assento para automóveis (Gore e Langston, 20081). Os experimentos até agora na base de tentativa e erro não foram bem sucedidos para otimizar o processo, resultando em valores baixos de torque e conseqüentemente estruturas metálicas frágeis e de baixa qualidade. O procedimento utilizado pelo engenheiro foi o tradicional “método cientifico” da fábrica de variar uma variável em dois níveis enquanto as outras variáveis são fixas no valor central pré-determinado. Os resultados na variável de resposta torque foram contraditórios, confusos e difíceis de interpretar. Os conhecimentos da área de delineamento de experimentos e posteriormente o uso de regressão múltipla e a construção da superfície de resposta certamente podem contribuir para uma melhor visualização das relações entre as variáveis e a solução do problema.
A qualidade da soldadura medida em libras de torque depende essencialmente de três variáveis nesta situação: a corrente elétrica em amperes, o tempo da soldadura em ciclos, e a força em psi no ponto da soldadura. Para os experimentos cada variável é caracterizada por um valor máximo e mínimo: corrente elétrica (10.000; 15.000); tempo (4, 30); força (35, 70). O delineamento fatorial do experimento é naturalmente 23 = 8. Veja na tabela 16.4 as primeiras oito linhas que contem os oito ensaios do delineamento fatorial. O delineamento central foi considerado importante pelo engenheiro para revelar não linearidades na superfície de resposta, fato ignorado no experimento original caracterizado por resultados confusos e contraditórios. Os valores centrais (12.500; 17; 52,5) foram repetidos 4 vezes em ensaios independentes. Veja que as respostas não são idênticas para torque, revelando o perfil aleatório da relação entre as variáveis. Finalmente, a tabela mostra os seis ensaios baseados nos valores axiais das variáveis, também necessários para desvendar as não linearidades presentes. O valor do multiplicador axial nesse caso de 3 fatores é igual a (23)1/4 = 1,682. são 6 ensaios que utilizam os valores axiais. Na forma codificada da variável, quando uma variável detém o valor de 1,682, as outras variáveis são de valor zero, e semelhante para o valor – 1,682 (< 0). Os valores codificados foram transformados em unidades originais, mostradas na tabela dos ensaios nas linhas do delineamento axial.






Valores originais

Valores codificados







C Corrente (amperes)

T

Tempo soldadura (Ciclos)



F Força (psi)

C cod

T cod

F cod

Y torque (libra)

fatorial 23

10.000

4

35

-1

-1

-1

425

15.000

4

35

1

-1

-1

625

10.000

30

35

-1

1

-1

500

15.000

30

35

1

1

-1

800

10.000

4

70

-1

-1

1

315

15.000

4

70

1

-1

1

407

10.000

30

70

-1

1

1

426

15.000

30

70

1

1

1

675

central

12.500

17

52,5

0

0

0

480

12.500

17

52,5

0

0

0

500

12.500

17

52,5

0

0

0

511

12.500

17

52,5

0

0

0

500

axial

16704

17

52,5

1,6818

0

0

761

8296

17

52,5

-1,6818

0

0

374

12500

39

52,5

0

1,6818

0

703

12500

-5

52,5

0

-1,6818

0

432

12500

17

82

0

0

1,6818

476

12500

17

23

0

0

-1,6818

659

Tabela 16.4 – Experimento de otimização da qualidade do assento de automóvel, 18 ensaios
A equação proposta para explicar a relação não linear entre as variáveis é da seguinte forma
Y(torque) = a + b1C + b2T + b3F + b4C2 + b5T2 + b6F2 + b7CT + b8CF + b9TF + b10CTF
A equação combina uma parte linear com a quadrática e termos de interação. Com todas as variáveis e todas as transformações não lineares, os resultados estatísticos das primeiras estimativas são os seguintes:


R-Quadrado

0,97













R-quadrado ajustado

0,93













Erro padrão

36,54













Observações

18































ANOVA
















 

gl

SQ

MQ

F

valor-P

Regressão

10

319024,8

31902,5

23,9

0,000179

Resíduo

7

9346,0

1335,1







Total

17

328370,8

 

 

 



















 

Coeficientes

Erro padrão

Stat t

valor-P




Interseção

362,690

441,048

0,822

0,438




C

0,007

0,049

0,135

0,897




T

-4,527

16,144

-0,280

0,787




F

-1,095

7,112

-0,154

0,882




C2

0,000

0,000

1,346

0,220




T2

0,082

0,061

1,346

0,220




F2

0,045

0,034

1,346

0,220




CT

0,000

0,001

0,263

0,800




CF

-0,001

0,000

-1,373

0,212




TF

-0,086

0,290

-0,296

0,776




CTF

0,000

0,000

0,552

0,598




Tabela 16.5 – Primeiros resultados, equação completa, todas as variáveis
Apesar do teste F que valida a presença de significância em alguns coeficientes, a investigação dos valores-P dos coeficientes individuais revela que nenhum coeficiente é destacado. Certamente o problema de não significância pelo teste t de Gosset é resultado da falta de graus de liberdade, poucas observações em combinação com muitas variáveis independentes. É razoável proceder eliminando da equação algumas variáveis certamente irrelevantes na equação, como por exemplo a corrente elétrica cuja valor-p de quase 90% permite a não rejeição da hipótese nula de coeficiente igual a zero. Ao longo do procedimento da redução da equação, várias variáveis foram eliminadas e chegou aos resultados finais da tabela 16.6.


R-Quadrado

0,963













R-quadrado ajustado

0,943













Erro padrão

33,268













Observações

18































ANOVA
















 

gl

SQ

MQ

F

valor-P

Regressão

6

316196,6

52699,4

47,6

3,08E-07

Resíduo

11

12174,2

1106,7







Total

17

328370,8

 

 






















 

Coeficientes

Erro padrão

Stat t

valor-P




Interseção

345

49,965

6,92

0,000




T

-8,98

4,834

-1,86

0,090




C2

0,000002

0,000

4,72

0,001




T2

0,078

0,054

1,45

0,176




F2

0,033

0,022

1,51

0,158




CT

0,001

0,0004

2,79

0,018




CF

-0,00056

0,0002

-3,00

0,012




Tabela 16.6 – Últimos resultados, equação reduzida2
As relações não lineares dominam a equação demonstrando complexidade que dificulta a análise do processo da soldadura. Não é surpreendente que a tentativa inicial de diagnosticar o processo com o “método cientifico” supondo a presença de uma relação linear foi um fracasso, de tempo e recursos desperdiçados. Por sinal, os resultados da tabela 16.6 podem ser escritos em forma de equação:
Y(torque) = 345 - 9T + 0,000002C2 + 0,078T2 + 0,0335F2 + 0,001CT - 0,00056CF
A equação representa relações entre 4 variáveis, 3 independentes e uma resposta. Obviamente é impossível fazer uma representação gráfica das 4 variáveis. Se tivesse 3 variáveis a representação gráfica pode tomar o desenho de rampas inclinadas, colinas altas ou baixas, ou vales, ou qualquer combinação de formas apropriadas. O gráfico em três dimensões é chamado de superfície de resposta.

Na tabela 16.7, apresentamos combinações de insumos e o resultado em torque. Nas primeiras duas linhas tem um resultado inesperado, a relação negativa entre força e torque, contra a intuição dos engenheiros e a fonte das perplexidades geradas nos primeiros experimentos. Na realidade para a amplitude dos valores usados aqui, e principalmente na luz da interação entre C e F que leva um coeficiente negativo, F aumenta e torque diminui. Nas primeiras duas linhas é claro que, na presença de C e T fixos, F aumenta de 35 para 70 e, conseqüentemente, torque diminui de 500 para 394. Nas últimas duas linhas da tabela, são as combinações dos fatores que produzem as respostas mais extremadas, a de 846 (torque máximo) com tempo em 30, corrente em 15.000 e força em 35, e a resposta menor de 348 (torque mínimo) com tempo em 4, corrente em 10.000 e força em 70.


A especificação nominal autorizada pela engenharia coloca o torque igual a 400, e isso significa que o torque máximo possível (846) nesta linha de produção é grande demais e pode ser descartada das operações da fábrica como caro demais. E por outro lado, o torque mínimo de 348 também é descartado como abaixo do limite de qualidade exigido. Para assegurar o nível de qualidade em valores que garantem a satisfação do cliente, a engenharia obriga o uso de 500 como valor nominal de torque na linha de produção. Através da equação estimada, combinações de C, T e F que proporcionam o desejado torque em 500 podem ser elaboradas. Esta tarefa fica ainda mais fácil quando é reconhecido o fato de que os aparelhos de soldadura trabalham bem melhor com tempo tradicionalmente igual a 10, e que a fábrica é mais acostumada com esta velocidade. Simplificando então a combinação de fatores, as combinações de C e F devem respeitar T = 10 e torque igual a 500. Na tabela 16.7, temos várias combinações de C e F que respeitam estas condições.


Torque

T

C

F




394

10

11717

70




500

10

11717

35




500

10

10544

23




500

10

13422

52,5




500

10

15120

70




500

10

16281

82




500

10

12500

43




500

10

15000

68,8




500

10

16704

86,4




500

10

10000

17,4




500

10

11350

31,2




485

10

11350

35




500

4

15000

58,5




348

4

10000

70

MIN

846

30

15000

35

MAX

Tabela 16.7 – Combinações dos fatores seguindo a equação estimada
Finalmente, para ilustrar a simplicidade da solução, nada melhor que um gráfico entre os fatores C e F. Veja os resultados na figura 16.4. A relação entre os dois fatores é uma linha reta3. O engenheiro deve escolher a combinação de C e F que mais agrada do ponto de vista da eficiência das operações e dos custos. É interessante notar que uma situação considerada como confusa, contraditória e difícil de desvendar, resulta numa solução com relações lineares e de fácil aplicação.

Figura 16.4 - As combinações de C e F devem respeitar T = 10 e torque igual a 500


16.5 Conclusões e sugestões
Sempre existe uma tendência na engenharia de extrapolar os resultados produzidos com determinado experimento para situações alheias a amostra e população original. O experimento da soldadura pertence ao universo restrito amostrado naquele momento e mais nada. O mesmo processo em outra fábrica talvez tenha comportamento significativamente diferente exigindo outro experimento e amostragem própria. A sugestão é de o engenheiro ser conservador no momento da análise estatística, e muito critico as generalizações desnecessárias. As amostras representam apenas as populações especificadas, e conclusões também são específicas para aquelas populações.
Nesta mesma linha de raciocínio, a possibilidade de dividir o levantamento de amostras em blocos pré-definidos, por exemplo, distinguindo entre máquinas ou fábricas diferentes, ou regiões ou terrenos agrícolas distintas, permite uma precisão maior nos resultados. Blocos podem entrar explicitamente nas equações de regressão como variáveis binárias.
Se for possível, a seqüência dos ensaios deve ser aleatória. Ensaios que seguem a prática de variar uma única variável cada vez podem sofrer de correlações e auto correlações no tempo que perturbem os resultados estatísticos. Variáveis fora do controle do pesquisador contaminam os resultados e confundem a análise. Nessa situação, as variáveis como temperatura do ambiente, umidade, e muitas outras podem ser a verdadeira causa atrás dos resultados e não as variáveis explicitamente sob escrutínio na equação de regressão. Uma seqüência aleatória de ensaios tem a qualidade de reduzir o efeito espúrio das variáveis formalmente fora do experimento.
O delineamento e análise de experimentos é a base da famosa filosofia Taguchi de qualidade robusta. Genichi Taguchi enfatizou dentro da área de experimentos a velha idéia de Stewart de que quando a variabilidade do processo é mínima e controlada, o resultado é produtos e serviços de alta qualidade e satisfação do consumidor. Para controlar variabilidade no momento de desenhar novos produtos e serviços, experimentos devem levar em conta não somente os resultados nominais das variáveis, mas também a variabilidade do resultado. A escolha do engenheiro entre processos diferentes depende não somente da precisão estimada do processo mas também da combinação de fatores que proporciona menor desvio dos valores alvos. É comum o engenheiro optar por um processo robusto com pouca variabilidade e não pelo processo com muita variabilidade, mas com médias mais exatas.
16.6 Questões e exercícios
1. Faça uma regressão linear múltipla com os dados da tabela 16.1. Analisar os resultados estatísticos.

Resposta: Não há significância estatística.


2. Faça uma regressão múltipla com os dados da tabela 16.2 e analisar os resultados.

Resposta: Não há significância estatística.


3. Refazer as regressões múltiplas com os dados da tabela 16.4 para chegar até a última equação do exercício mostrada no texto. Comentar o procedimento de redução das variáveis na equação.

Resposta: Em determinados momentos da redução, se tirar ou não uma variável da equação depende de uma escolha intuitiva pois as estatísticas como t de Gosset e a estatística F podem emitir sinais contraditórios.


16.7 Referências
Barbetta, Pedro Alberto, Reis, Marcelo Menezes e Bornia, Antonio Cezar. (2004). Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. São Paulo: Atlas.
Box, G. E. P. & Wilson, K. B. (1951). On the experimental attainment of optimum conditions. J. R. statist Soc., B, 13:1-45.
Byrne, D. M. and Taguchi, S., (1987), "The Taguchi Approach to Parameter Design," 40th Annual Quality Congress Transactions,Milwaukee, Wisconsin, American Society for Quality Control.
Gore, D.W.; e Langston, D. R. (2007) Welding Quality Problem Using DOE, apresentação, Middle Tennessee State University.
Ogliari, P e Andrade, Dalton. (2008). Estatística para as ciências agrárias e biológicas: com noções de experimentação. Editora UFSC.


1 Os dados originais foram adaptados ao nosso exemplo para fins didáticos.

2 A hipótese nula de normalidade nos erros residuais não é rejeitada.

3 A relação em forma de equação é F = 0,0103C – 85,4


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