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Registros de representação semiótica no currículo de matemática: Um ensaio com a Análise de Dados1.
RESUMO

Neste projeto procuro investigar a possibilidade de que os registros de representação semiótica dos objetos matemáticos, em particular, aqueles relacionados à Análise de Dados possam ser explicitados em ensaio de uma proposta curricular para o ensino básico. Para a realização desta pesquisa tomamos por base os registros de representações semiótica de Duval, a idéia do currículo em rede de Pires e o estudo sobre a diversidade e natureza das tarefas escolares em Ponte.


INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA

Uma questão fundamental quando se considera a matemática escolar é a aprendizagem, como uma prática que permite a compreensão dos objetos em estudo, a elaboração e construção de justificativas para que o aluno possa apropriar-se dos significados desses objetos e utilizá-los de maneira coerente em sua vida escolar e extra-escolar.

Neste sentido têm especial atenção os tipos de situação que se desenvolvem na escola: um aspecto diz respeito à natureza das tarefas e os objetivos de ensino. O outro é a caracterização do próprio objeto matemático a partir da realização das tarefas. Para dar conta do primeiro aspecto, encontramos principalmente em Ponte (2003, 2005, 2006) uma caracterização conceitual de tarefa e atividade.

Em relação à aprendizagem matemática, encontramos na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1988A, 1988B, 1988C, 1993, 1995, 1996, 2002, 2003) um aporte importante. Para este autor, é essencial que na atividade matemática de aprendizagem seja possível mobilizar muitos registros de representação semiótica no decorrer de um mesmo passo. A hipótese de aprendizagem deste autor baseia-se na articulação dos registros de representação semiótica do objeto matemático em estudo.

Pesquisas apontam um crescente interesse pela teoria de Duval que teve início na década de 90 após as suas primeiras publicações em fim dos anos 80. De lá para cá apenas algumas tímidas contribuições dos registros de representação semiótica começam a surgir nos currículos de matemática em documentos oficiais. Dada a natureza da teoria de Duval que trata da diversidade de representações é bastante oportuna a idéia de currículo em rede elaborada por Pires (2000, 2004) que procura superar a linearidade e hierarquização. Esta superação é importante, porque na representação em Duval não há as barreiras dos níveis escolares e dos campos em matemática.

No entanto, nos mais diversos textos escritos por Duval não há de forma explícita alguma preocupação com a natureza das tarefas que podem ser conduzidas em sala de aula, o que ele apregoa é que elas devem ser implementadas de tal modo que uso da hipótese de aprendizagem seja possível. Assim, questões como interdisciplinaridade, contextualização, transversalidade, aluno pesquisador não fazem parte diretamente das suas preocupações.

Para dar conta do segundo aspecto anteriormente referido, a Análise de Dados será tomada como o objeto matemático por sua atualidade e crescente importância na preparação do aluno cidadão.
Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática

Uma contribuição importante para a pesquisa em educação matemática tem sido a teoria de representação semiótica que dá suporte para muitas pesquisas no Brasil e na maioria das investigações do grupo de pesquisa que coordeno.

Duval lança três artigos em 1988 que vão dar os primeiros fundamentos da sua teoria de aprendizagem que a sintetiza em um livro de 1995 com uma reunião dos seus principais resultados sustentados por seus alunos de doutorado e colaboradores. A partir desses trabalhos, nos últimos anos tem aumentado de forma importante o número de pesquisadores que toma por base a teoria de aprendizagem em matemática de Duval.

Este autor remarca que o acesso a um dado objeto matemático só é possível por meio da representação desse objeto. Como, então, não confundir o objeto matemático com a sua representação? Para responder a esta questão Duval (1993, p.51) apresenta a hipótese fundamental de aprendizagem seguinte:


A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação e esta coordenação manifesta-se pela rapidez e espontaneidade da atividade cognitiva de conversão.

Tal hipótese é representada em Duval (1995, p.67) pelo esquema:





Este esquema retrata o caso mais simples de coordenação entre dois registros de representação. As flechas 1 e 2 correspondem às transformações internas a um registro de representação, as 3 e 4 as transformações externas, ou seja, as conversões por mudanças de registros. A flecha C corresponde ao que este autor chama de compreensão integrativa de uma representação que supõe uma coordenação de registros. As flechas pontilhadas nesse esquema (as duas na parte superior e que estão inclinadas) correspondem à distinção clássica de Saussure (1973) entre representante e representado.

Duas são as operações na coordenação entre dois registros: a operação de conversão (flechas 3 ou 4) quando se opera entre registros de sistemas semióticos diferentes e a operação de tratamento (flechas 1 ou 2) no caso de registros de um mesmo sistema. A passagem entre dois registros pode ter certo grau dificuldade que depende do que Duval (1988A) chama de congruência semântica:

Duas expressões podem ser sinônimas ou referencialmente equivalentes (elas podem “dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas conjuntamente) e não serem semanticamente congruentes: neste caso há um custo cognitivo importante para a compreensão. (p.8)

As pesquisas que tomam como fundamento os registros de representação semiótica de Duval assumem, por princípio fundamental, esta hipótese de aprendizagem.

Além da hipótese de aprendizagem, Duval (1993, 2003) assinala outras vantagens da diversidade dos registros de representação semiótica. Uma primeira tem a ver com economia de tratamento. Tendo vários registros de representação é possível haver mudança entre eles e estas mudanças poderão ser mais econômicas e potencializadas. Tendo mais registros, há um aumento potencial de possibilidades de trocas e, por conseguinte, há um aumento também na escolha mais econômica.

Uma segunda vantagem refere-se à complementaridade dos registros. Esta resposta está baseada fortemente nas possibilidades que um tipo de sistema semiótico pode oferecer. Por exemplo, a linguagem discursiva não oferece as mesmas possibilidades que podem oferecer uma figura ou um diagrama. Isto quer dizer que de um ponto de vista cognitivo uma representação é parcial em relação aquilo que ela quer representar e que de um registro a outro não são os mesmos conteúdos de uma situação que são representados. Sobre a complementaridade, Duval (1993, p.18) assinala ainda que:


As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a conseqüência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas características do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado.
Finalmente, uma terceira vantagem é que a conceitualização implica em uma coordenação de diferentes registros de representação. Do ponto de vista genético, as representações mentais e as semióticas não podem estar situadas em domínios distintos.

Como assinalam Piaget2 e Vygotski3, citados por Duval (1993, p. 38, 39), "o desenvolvimento das representações mentais se efetua como uma interiorização das representações semióticas do mesmo modo que as imagens mentais são uma interiorização dos perceptos." A isto, podemos acrescentar o fato que a pluralidade de sistemas de representação permite uma diversificação de representação de um mesmo objeto o que aumenta as capacidades cognitivas do sujeito e consequentemente potencializa as suas representações mentais.

Em uma pesquisa recente, Colombo (2008, p. 49-50) produz um levantamento no Brasil que relaciona 30 teses de doutorado ou dissertações de mestrado para o período de 1996 a 2005 sobre o uso dos registros de representação semiótica de Duval na aprendizagem matemática. Sobre este levantamento, conclui esta autora, que a maioria dos trabalhos tem como temática principal o ensino e aprendizagem de algum conceito específico em matemática. Esse levantamento somado aos números trabalhos apresentados em congressos de educação científica, principalmente, na área de educação matemática, indicam um crescente interesse dos pesquisadores neste caminho de pesquisa fundamentado nos registros de representação semiótica.
As tarefas

Colombo (2008) sustenta, em sua tese de doutorado, que a diversidade de atividades é uma importante aliada na articulação com a teoria dos registros de representação semiótica. Tal diversidade de atividades enriquece a teoria de Duval, pois pode permitir acréscimo de objetivos educacionais, outros que aqueles relacionados à aprendizagem. Para tanto, esta autora toma como ensaio o sistema de representação decimal e baseia o seu trabalho principalmente nos resultados apresentados por Brandt (2005) que, por sua vez, tem em Duval a sua base teórica.

Para Colombo (2008) a natureza e diversidade das atividades são fundamentais. Sobre esta questão, encontra em João Pedro M. da Ponte um aporte teórico importante. Ponte (2005, p.26, 27) distingue algumas características de atividades de naturezas diferentes conforme os contextos da sua aplicação e de sua complexidade:
- As tarefas de natureza mais fechadas (exercícios, problemas) são importantes para o desenvolvimento do raciocínio matemático nos alunos, uma vez que este raciocínio se baseia numa relação estreita e rigorosa entre dados e resultados.

- As tarefas de natureza mais acessível (explorações, exercícios), pelo seu lado, possibilitam a todos os alunos um elevado grau de sucesso, contribuindo para o desenvolvimento da sua auto-confiança.

- As tarefas de natureza mais desafiante (investigações, problemas), pela sua parte, são indispensáveis para que os alunos tenham uma efetiva experiência matemática.

- As tarefas de cunho mais aberto são essenciais para o desenvolvimento de certas capacidades nos alunos, como autonomia, a cpacidade de lidar com situações complexas, etc.

- Para que os alunos se apercebam do modo como a matemática é usada em muitos contextos e para tirar partido do seu conhecimento desses contextos é fundamental que lhes seja proposta a realização de tarefas enquadradas em contextos da realidade (tarefas de aplicação e de modelação).

- No entanto, os alunos podem também sentir-se desafiados por tarefas formuladas em contextos matemáticos (investigações, problemas, explorações) e a sua realização permite-lhes perceber como se desenvolve a atividade matemática dos matemáticos profissionais.


Esses parâmetros não são isolados, eles podem ser juntados para formar tarefas com novas características.

Cada tarefa apresenta uma potencialidade diferente e desempenha um papel importante no alcance de objetivos curriculares. Em outras tarefas em que o papel do aluno investigador é característico, Ponte (2006, p. 31) assinala a contribuição importante para o seu desenvolvimento em vários níveis:


(i) na aprendizagem do que são e como se fazem as investigações; (ii) na aprendizagem de conceitos, idéias e procedimentos matemáticos; (iii) na aprendizagem de objectivos curriculares transversais, como a capacidade de comunicação e o trabalho em grupo; e (iv) na formação de novas concepções e atitudes em relação à matemática.
Nestes tipos de atividades, a teoria de aprendizagem Duval pode auxiliar no desenvolvimento do aluno em relação ao nível (ii) no que diz respeito à apreensão conceitual em matemática.

Ponte e Santos (1998) ressaltam que o processo com que o professor conduz em sala de aula o ensino-aprendizagem pressupõe um conhecimento de quatro domínios: (a) a disciplina, no caso em tela, a matemática (a Análise de Dados); (b) o currículo; (c) os processos de aprendizagem; (d) a organização da atividade com os alunos. “Esses quatro domínios que constituem o núcleo do conhecimento profissional do professor referente à sua prática lectiva, estão estruturados em termos das suas concepções” (PONTE, 1992). Tais domínios são solidários: eles se integram para alcançar objetivos definidos. A dificuldade desta integração pode ser sentida, como, por exemplo, no caso da teoria de aprendizagem de Duval, em Colombo (2008) que constata em vários programas curriculares oficiais a tímida presença dos registros de representação semiótica apesar da crescente produção científica que toma por base essa teoria de aprendizagem. Ainda mais, na explicitação da distribuição dos conteúdos nos programas da disciplina de matemática esta ausência é quase total. Por outro lado, objetivos pretendidos pela utilização de representações aparecem em todos os níveis de ensino do documento NCTM (2000, p.135, 205, 279, 359). Resumidamente são eles:

- criar e usar representações pata organizar, lembrar e comunicar idéias matemáticas;

- selecionar, aplicar e traduzir entre representações matemáticas diversas formas de resolver problemas;

- usar representações para modelar e interpretar fenômenos físicos, sociais e matemáticos.

As representações semióticas de Duval não possuem fronteiras, elas podem estar situadas em níveis e campos matemáticos diferentes e encontram em Pires (2000, 2004) uma idéia profícua. O currículo em rede pode representar qualquer tipo de relação que envolva qualquer área do conhecimento e permite uma percepção global das relações formadas entre os nós e os caminhos. O percurso seguido na rede não é único, o início e o fim podem ser múltiplos, dependendo do caminho escolhido. A metáfora da rede suscita uma idéia de inacabado, pois agrega condições para a flexibilidade e movimentos de novos resultados de pesquisa. Na medida em que as pesquisas avançam, a trama curricular em rede torna-se cada vez mais complexa e paradoxalmente inacabada.

O conjunto de objetos matemáticos que vai permitir este ensaio curricular é a Análise de Dados.
A Análise de Dados e os registros de representação semiótica

Para um receptor não alfabetizado em Análise de Dados, a facilidade aparente dos dados semiotizados pode tornar-se uma dificuldade, uma vez que o não entendimento, a interpretação intuitiva ou equivocada pode ser uma das formas de exclusão do indivíduo da sua cidadania, tornando-o um sujeito mais facilmente manipulável. A frase “... há inúmeros argumentos, sobretudo cifras e estatísticas, para apoiar opiniões perfeitamente divergentes” de Canivez (1991, p. 105) reforçam este entendimento.

Um estudo realizado por Ponte e Fonseca (2001) sobre a questão do ensino da estatística presente nos documentos oficiais portugueses, ingleses e no NCTM (2000) apontam já para as séries iniciais do ensino oficial a Análise de Dados com presença explícita. Além disso, enfatizam estes autores que, o NCTM (2000) propõe um contato com uma maior variedade de formas de representação gráfica sempre mais cedo do que em Portugal e na Inglaterra.

No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental, em 1997, em seu terceiro volume (destinado à Matemática) chama a atenção para a Análise de Dados, pois em um dos seus princípios norteadores reconhece a importância das diferentes formas de representar as informações matemáticas e a sua relação significativa com a realidade do aluno:

– No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados. (BRASIL, 1997, v. 3, p. 19)

Ressalta-se o fato de que as representações gráficas preenchem as quatro funções cognitivas do pensamento. (DUVAL, 1999). São elas:

- A identificação que é solicitada quando é preciso ler e analisar um quadro de dados. Dentre os muitos dados, e informações, contidos num quadro é preciso identificar, ou encontrar, aquele que é o solicitado na análise de um problema envolvendo dados estatísticos.

- Em relação, particularmente, à comunicação basta abrir um jornal qualquer para sentirmos essa importância. Não menos importante, percebemos o papel de destaque que é dado à representação gráfica nos livros didáticos, uma vez que há um interesse crescente pelo recurso às novas tecnologias da informação. Há, portanto, uma inserção, no cotidiano do aluno, de representações gráficas tais como, quadros, tabelas, gráficos cartesianos, gráficos de barras, gráficos com três dimensões, diagramas circulares.

- Para o aluno, não é suficiente que ele saiba “ler” um gráfico, é necessário também que ele saiba organizar e operar de forma objetiva sobre os dados contidos neste modo de representação. Esta é a função de tratamento.

- A função de objetivação é a que permite a um sujeito de tomar consciência daquilo que até então ainda não o tinha feito. É o trabalho de exteriorização.

Flores e Moretti (2005, p. 11) afirmam que a conversão entre os registros é que possibilitará uma leitura global das representações gráficas. Sabendo que essa conversão não é uma atividade natural, mas que dela depende a compreensão do objeto matemático, pensamos que devemos levá-la ao ensino como uma atividade essencial para a aprendizagem. Contudo, para além da introdução de conceitos e métodos estatísticos para auxiliar a coleta, a organização, a interpretação e a análise de dados, é preciso o desenvolvimento de habilidades que envolvam tanto a leitura como o julgamento de informações semiotizadas.

Moretti (1992) preconiza a importância para o pesquisador da diversidade de métodos e de representações em Análise de Dados na compreensão de fenômenos em educação matemática. Buhering (2006), em sua dissertação de mestrado, desenvolve uma seqüência didática de ensino das noções básicas de Análise de Dados para alunos da primeira série do ensino fundamental tendo por fundamento os registros de representação semiótica de Duval. Em suas conclusões afirma: “Na realização de ensino que foi parte essencial desta pesquisa, percebemos a capacidade dos alunos em transitar e coordenar diferentes registros de representação, além do crescimento da sua compreensão frente ao objeto de estudo em questão” (p. 112). Esta afirmação vai de encontro com o que preconizam os Parâmetros Curriculares Nacionais: “De modo geral, parece não se levar em conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos” (BRASIL, 1998, p.22, 23).

Essas extensões, representações e conexões, no caso em tela, da Análise de Dados, com outros conceitos, no seio da teoria das representações de Duval, pode se tornar possível com a associação de tarefas cuidadosamente escolhidas.
OBJETIVO

Aprofundar as investigações em relação à diversidade de tarefas com objetivo de elaborar um ensaio de proposta curricular que promova a aprendizagem da Análise de Dados no ensino básico. Tal sistema reticulado pretende incorporar a hipótese fundamental de aprendizagem no seio da teoria dos registros de representação semiótica.

Este estudo que faz referência ao ensino e aprendizagem matemática delimita-se ao ensino básico com recorte específico para a Análise de Dados.
CAMINHOS A SEGUIR

A coleta dos elementos destinados ao ensaio de uma proposta curricular inspira-se no esquema:



O caminho metodológico tem os caminhos e encontros principais seguintes:
A: Os registros de representação semiótica.

a: A teoria dos registros de representação semiótica de Duval que principalmente toma como hipótese fundamental de aprendizagem um tipo de trânsito entre ao menos duas formas de representação do objeto matemático.
B: As tarefas em matemática

b: Investigação teórica sobre os modos, variedades e características das tarefas escolares, principalmente em João P. da Ponte, que podem ser elaboradas. As formas diferentes das tarefas permitem a inserção de objetivos educacionais, por exemplo, aqueles relacionados à transversalidade. A importância da variedade de tarefas para potencializar o alcance de objetivos curriculares. A integração das tarefas nos currículos.

ab: a interação entre os registros de representação semiótica e as tarefas. Duval não deixou pista que permita essa associação que é importante, pois pode permitir que se atenda a outros objetivos educacionais além da aprendizagem matemática.
C: a Análise de Dados

c: a importância da Análise de Dados na formação do aluno, o que dizem os documentos oficiais e o que trazem os livros didáticos.

ac: análise do funcionamento tanto cognitivo como semiótico nas representações na Análise de Dados; análise das possibilidades das operações de conversões e tratamentos entre registros (gráficos, tabelas, discurso, etc); análise dos custos cognitivos destas operações (congruência semântica entre os registros operados).

bc: análise da diversidade das tarefas na Análise de Dados.

abc: análise de um ensaio de proposta curricular reticulada em Análise de Dados que articule os registros de representação semiótica e tarefas.
etc....

REFERÊNCIAS
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1 Análise de Dados entendida na perspectiva de Snee (1993) que enfatiza principalmente os procedimentos de coleta de dados; a compreensão e modelação da variação; a apresentação, leitura e interpretação gráfica dos dados e resolução de problemas.


2 Piaget, J. La formation du symbole chez l'enfant. Neuchatel. Delachaux&Niestlé. (1946), 1968.

3 Vygotski, L. S. Thougtht and Langage. (T. Hanfmann&Vakar). Cambridge, M.I.T (1932), 1962





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