Paradoxos



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UFPB-PRG XIII Encontro de Iniciação à Docência



0086.DFs.CCHLA.MT.10.R.O.2

UMA NOÇÃO SOBRE PARADOXOS

Ivonaldo Correia Dantas1; Ana Leda de Araújo2

Centro de Ciências Humanas Letras e Artes – CCHLA - Filosofia – DF - MONITORIA

INTRODUÇÃO


Os paradoxos são estudados desde a antiguidade e continuam sendo pesquisados nos diversos ramos do conhecimento. Entende-se por paradoxo, uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica. Por essa razão, eles despertam interesse no estudo da lógica, da filosofia e da matemática, auxiliando o progresso dessas ciências. Neste trabalho, como resultado de nossas atividades desenvolvidas no projeto de ensino Tópicos Fundamentais de Lógica, expomos o que é um paradoxo, exemplificando dois tipos deles: paradoxos sintáticos e paradoxos semânticos.
Palavras-chave: Paradoxos; Lógica; Filosofia.
OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é introduzir o conceito de paradoxo. Para melhor compreensão de nosso trabalho, utilizaremos exemplos de dois paradoxos de interesse da Lógica, a saber, um paradoxo sintático e um paradoxo semântico.
DESCRIÇÃO METODOLÓGICA
Este trabalho utilizou-se de pesquisa bibliográfica de literatura técnica específica de lógica e matemática. A principal obra de referência é a introdução do livro de Elliott Mendelson, intitulado Introduction to Mathematical Logic, quarta edição, publicada em 1997 pela Chapman & Hall.
RESULTADOS/ AVALIAÇÃO
Após o aparecimento das geometrias não-euclidianas e do desejo de fornecer uma rigorosa fundamentação para o cálculo e para a análise, o interesse pela lógica reviveu mesmo que ainda tímido a partir do século XIX. Até que, na virada do século XX, o mundo matemático foi surpreendido por argumentos desta sua fundamentação que levavam a contradições, paradoxos. Dois destes paradoxos são apresentados a seguir: o primeiro é o paradoxo de Russell, que aparece justamente no momento histórico citado; o outro, já conhecido pelos antigos gregos, é o paradoxo do mentiroso.

Descoberto por Bertrand Russell, em 1901, o paradoxo que leva seu nome diz respeito à teoria dos conjuntos. Por conjunto, entende-se uma coleção de objetos. Os objetos que compõem um determinado conjunto são chamados de seus elementos ou membros. Os conjuntos podem ser eles mesmos elementos de conjuntos. Existem conjuntos que não são elementos de si mesmos, por exemplo, o conjunto de todas as canetas não é uma caneta. E existem conjuntos que podem ser elementos de si próprios, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos também é um conjunto. Considere-se agora um dado conjunto Y. Os elementos deste conjunto Y são todos os conjuntos X que não contêm X como elemento. Por definição, Y é elemento de Y se e somente se Y não é elemento de Y. Portanto, se Y é um elemento de Y, então Y também não é elemento de Y. Porém, se Y não é membro de Y, então ele é membro de Y. Assim, Y é elemento de Y e Y não é elemento de Y.

Quando se percebe que, usando a lógica clássica, todas as frases do paradoxo de Russell seguem-se a partir de uma contradição, fica evidente a relevância que tem este paradoxo. Por causa disso, e porque a teoria dos conjuntos é subjacente a todos os ramos da matemática, começou-se a questionar a confiabilidade das provas matemáticas. A própria resposta de Russell ao seu paradoxo reconhecia que a auto-referência era o cerne do paradoxo e que poderia ser evitado organizando as sentenças de forma hierárquica. Tais tipos de paradoxos são chamados de sintáticos, pois predicam propriedades a propriedades ou propriedades a si mesmas.

O paradoxo do mentiroso pode ser assim descrito: um homem diz “eu estou mentindo”. Se o que ele diz é verdadeiro, então ele não está mentindo. Se ele não está mentindo, então o que ele diz é verdadeiro, e então ele está mentindo. De qualquer maneira, ele está mentindo e ele não está mentindo. Existem outras variantes deste mesmo paradoxo, todas elas são consideradas paradoxos semânticos, visto que no caso específico envolvem o significado de “verdade”, e podem ser resolvidos por uma hierarquização de linguagens, ou níveis de linguagem.


CONCLUSÃO
Estes paradoxos são genuínos porque contém óbvias falhas lógicas. Os paradoxos lógicos, como é o caso do paradoxo de Russell, envolvem noções de teoria de conjuntos. Os paradoxos semânticos, como o do mentiroso, envolvem conceitos como o de “denotação”, “verdade” e “adjetivo” que necessariamente não ocorrem na linguagem matemática padrão. A análise dos paradoxos tem levado a várias propostas para evitá-los. Todas estas propostas são restritivas para evitar, de uma ou de outra maneira, o uso de conceitos “ingênuos” dos quais derivam tais paradoxos.

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