Uma urna contém bolas amarelas, verdes e azuis



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XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)

PRIMEIRO DIA



PROBLEMA 1

Quando duas amebas vermelhas se juntam, se transformam em uma única ameba azul; quando uma ameba vermelha se junta com uma ameba azul, as duas se transformam em três amebas vermelhas; quando duas amebas azuis se juntam, elas se transformam em quatro amebas vermelhas. Um tubo de ensaio tem inicialmente a amebas azuis e v amebas vermelhas.

Determine, em função de a e v, todas as quantidades de amebas possíveis no tubo de ensaio e, para cada quantidade de amebas, as possibilidades de quantidades de amebas de cada cor.


PROBLEMA 2


Dado um triângulo ABC, o exincentro relativo ao vértice A é o ponto de interseção das bissetrizes externas de B e C. Sejam IA, IB e IC os exincentros do triângulo escaleno ABC relativos a A, B e C, respectivamente, e X, Y e Z os pontos médios de IBIC, ICIA e IAIB, respectivamente. O incírculo do triângulo ABC toca os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F, respectivamente. Prove que as retas DX, EY e FZ têm um ponto em comum pertencente à reta IO, sendo I e O o incentro e o circuncentro do triângulo ABC, respectivamente.

PROBLEMA 3

Qual é o menor natural n para o qual existe k natural de modo que os 2012 últimos dígitos na representação decimal de nk são iguais a 1?



XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)

SEGUNDO DIA


PROBLEMA 4


Determine se existem inteiros positivos n, a1, a2, …, a2012, todos maiores ou iguais a 2, tais que

,

em que pi é o i-ésimo primo (ou seja, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …).



PROBLEMA 5

De quantas maneiras podemos pintar as casas de um tabuleiro nn com 4 cores de modo que casas com um lado em comum não tenham a mesma cor e em cada quadrado 2  2 formado por quatro casas em linhas e colunas consecutivas apareçam as quatro cores?



PROBLEMA 6

Encontre todas as funções sobrejetoras f dos reais positivos nos reais positivos tais que

2x·f(f(x)) = (f(f(x)) + xf(x)

para todo x real positivo.


Obs.: uma função f de A em B é sobrejetora quando a imagem de f é B, ou seja, para todo yB existe xA tal que f(x) = y.

XXXIV Olimpíada Brasileira de Matemática – Terceira Fase – Nível 3

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