Universidade estadual de campinas



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Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

E0383

INTRODUÇÃO À TEORIA DE REPRESENTAÇÕES


Gabriel Bernardi de Freitas (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A teoria de álgebras e grupos de Lie e suas representações é uma área de grande destaque e interesse tanto na Matemática quanto na Física. A ênfase neste projeto foi dada à teoria de representações de grupos finitos, cujo estudo se iniciou após adquirir conhecimento sobre as estruturas algébricas de grupos e anéis. As representações de grupos finitos podem ser entendidas como módulos do grupo envolvido (espaços vetoriais em que o grupo realiza uma ação). Quando o corpo base é o corpo dos complexos, garante-se que todas as representações podem ser decompostas de maneira única (a menos de isomorfismo) em representações irredutíveis. Tal propriedade é denominada redutibilidade completa, e permite reduzir o problema ao estudo das representações irredutíveis. Uma importante ferramenta desenvolvida para esse fim foi a teoria de caracteres. Um conhecimento sobre polinômios simétricos permitiu calcular os caracteres das potências simétricas e exteriores de uma determinada representação. Em seguida foi dada uma atenção especial aos grupos simétricos, e determinaram-se todas as suas representações irredutíveis. O mesmo foi feito para os grupos alternados e em seguida para os grupos geral linear de ordem 2 e especial linear de ordem 2, ambos com entradas sobre o corpo com q elementos, q um número primo.

Representações - Grupos - Caracteres


E0384

CINEMÁTICA DE GAUGE EM CORPOS DEFORMÁVEIS


Nayara Fonseca de Sá (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Alberto Vazquez Saa (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Teoria de gauge é a classe de teorias físicas baseada na idéia de que transformações de simetria podem ser realizadas tanto local quanto globalmente. As potencialidades dessa teoria figuram proeminentes na construção de leis físicas fundamentais. Nesse projeto apresentamos uma formulação cinemática do movimento de corpos deformáveis. O tratamento desse movimento é feito em termos da estrutura gauge sobre o espaço das formas que o corpo pode assumir. Discutiremos como as deformações de um corpo com momento angular zero podem resultar em uma mudança de orientação, por exemplo: um gato, com as patas para cima, se solto de uma altura apropriada consegue cair com as patas para baixo. Dessa maneira executando uma seqüência de deformações que começam e terminam na mesma forma, um corpo deformável sem que nada o empurre e com momento angular zero submete-se à rotação.

Gauge - Corpos deformáveis - Simetria


E0385

O PROBLEMA DA POLICROMATICIDADE NA TOMOGRAFIA DE TRANSMISSÃO


Juliana Barbosa Siqueira Simões (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Álvaro Rodolfo De Pierro (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A tomografia de transmissão de Raios X é hoje uma das ferramentas mais poderosas para diagnóstico em clínica médica. O projeto consiste em estudar de forma aprofundada os conceitos básicos da tomografia computadorizada de Raios X, ilustrando os diferentes métodos de reconstrução usando o pacote MATLAB, além de modelisar, analisar e corrigir o problema da policromaticidade, ou seja, estatística de fótons com diferentes níveis de energia. No projeto enfatizamos os modelos estatísticos e os métodos iterativos para sua resolução. Esse projeto é uma continuação do projeto de IC de L. A. Radicchi. Na primeira parte consideramos algoritmos baseados em correções simples que supõem a existência de dois tipos diferentes de tecidos. Para esses algoritmos testamos a sensibilidade dos resultados para diferentes níveis de atenuação, incluindo a existência de regiões de alta densidade, como no caso da presença de próteses. Na segunda parte desenvolvemos e testamos algoritmos alternativos iterativos baseados em modelos estatísticos de máxima verossimilhança, mais apropriados na presença de objetos de alta densidade. Analisamos e comparamos os resultados obtidos nas duas etapas desenvolvendo exemplos e usando medidas apropriadas de comparação. Assim, é possível afirmar que em tomografia de Raios X, é necessário levar em conta que os feixes são policromáticos.

Tomografia de transmissão - Reconstrução de imagem - Policromaticidade


E0386

GRUPOS DE LIE E SUAS APLICAÇÕES À EQUAÇÃO DE LAPLACE


Alexandre Cruz Sanchetta (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Antonio Carlos Gilli Martins (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
As Equações Diferenciais Parciais, lineares ou semilineares,em particular a Equação de Laplace, são extremamente utilizadas na modelagem matemática de fenômenos de dispersão em Epidemiologia, entre outros casos. Um estudo mais aprofundado dessas equações é muito importante mas, nem sempre, é facilmente encontrado. O estudo da aplicação dos Grupos de Lie sobre as equações diferenciais parciais tem como um dos seus objetivos encontrar boa parte desses resultados através da análise das simetrias . Basicamente, isso se dá analisando as transformações de pontos dos de Lie . Elas podem estar na forma finita ou na infinitesimal. No caso das transformações infinitesimais, podemos encontrar um gerador infinitesimal para a equação, e com esse, encontrar vários tipos de invariantes. Estas transformações invariantes de uma equação diferencial induzem campos vetoriais, que são as simetrias de Lie. O cálculo das simetrias de tais equações diferenciais parciais constitui num princípio para a resolução das mesmas. Nesse estudo foi visto a aplicação dos grupos de Lie à Equação de Laplace, mas é importante salientar que essas aplicações podem ser utilizadas ainda em outras equações diferenciais parciais, inclusive as mais elaboradas, reiterando assim sua validade em diversos estudos.

Grupos de Lie - Equações diferenciais - Invariantes


E0387

APLICAÇÕES DOS GRUPOS DE LIE À EQUAÇÃO DO CALOR


Alexandre Manhe de Oliveira (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Antonio Carlos Gilli Martins (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Atualmente, observa-se, existem muitas associações entre as diversas áreas de conhecimento visando compreender os fenômenos que nos cercam. A matemática, a física e outras ciências afins têm contribuído, através da elaboração de modelos, de forma decisiva, na descrição desses fenômenos. As Equações Diferenciais são, via de regra, uma ferramenta bastante utilizada para isso e a Teoria dos Grupos de Lie constitui, entre outras utilidades, uma fonte para as justificativas geométricas dos porquês dos métodos de resolução de tais equações. Equações diferenciais parciais parecidas com as equações do calor, lineares ou semilineares, podem ser muito úteis na modelagem matemática de fenômenos de dispersão usados em Epidemiologia. Tendo isto como objetivo futuro, partimos para um estudo direcionado a entender as relações entre as equações diferenciais e os Grupos de Lie. Iniciamos com um estudo sobre a teoria de grupos de transformações de pontos de Lie a um parâmetro. Estas transformações de pontos são determinadas pelas suas transformações infinitesimais. Utilizando o gerador infinitesimal de tais grupos podemos construir vários tipos de invariantes. Nosso foco neste presente projeto foi estudar uma equação diferencial parcial, a equação do calor, buscando encontrar as transformações infinitesimais( ou simetrias) que tal equação possui, e assim construir as soluções invariantes da mesma.O cálculo das simetrias de tais equações diferenciais parciais é muito importante e se constitui numa introdução aos métodos de determinação de simetrias de equações diferenciais parciais mais elaboradas.

Grupos de Lie - Equações diferenciais - Invariantes


E0388

CONTROLANDO TROCAS NO PADRÃO DE CORTE EM PROBLEMAS DE CORTE UNIDIMENSIONAL


Alisson Yassutomi Taminato (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Antônio Carlos Moretti (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Um problema muito importante nas indústrias de corte de papel ou de placas metálicas é o problema de determinar como os rolos da matéria-prima podem ser cortados em rolos menores com a finalidade de satisfazer a demanda de um cliente. Como o material, geralmente, tem um valor baixo por unidade de peso e requer vários processamentos, é freqüente a minimização de não apenas o custo de perda de material mas, também, o custo de setup das máquinas na mudança do padrão de corte. A inclusão desse fator pode introduzir não-linearidades que podem dificultar a resolução do problema. Assim, há um incentivo grande em se desenvolver rotinas para encontrar a solução desse problema, que muitas vezes não é o ótimo mas apresenta uma redução satisfatória dos custos e do tempo de resolução do problema. Neste trabalho, desenvolveu-se um algoritmo baseado no artigo de Haessler, que propõe idéias e métodos para encontrar a solução, considerando os fatores citados. Com a ajuda de um gerador de problemas, CUTGEN1 proposto por Gau e Wascher, avaliamos as soluções apresentadas pelo algoritmo confirmando sua eficácia.

Programação linear - Otimização combinatória - Heurísticas


E0389

APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR


Flávio Henrique Ferraresi (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Ary Orozimbo Chiacchio (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Álgebra Linear é uma das ferramentas fundamentais da Matemática, com aplicações em várias áreas. Neste projeto, analisamos aplicações da álgebra linear no estudo de fractais, cadeias de Markov, criptografia, genética e em teoria da aproximação em espaços com produto interno. Cada tópico foi estudado pelo aluno e exposto ao orientador em forma de seminários, baseando-se na bibliografia adotada,com pesquisa complementar, quando necessário.

Sistemas lineares - Produto interno - Aproximação


E0390

CÁLCULO DE GEOMETRIA MOLECULAR


Thársis Tuani Pinto Souza () e Profa. Dra. Carlile Campos Lavor (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Desde a descoberta da estrutura tridimensional da molécula de DNA a recentes inibidores patológicos, o estudo de predição de estruturas tridimensionais moleculares vem mostrando-se de fundamental importância. Com esta motivação, este projeto objetiva o estudo do cálculo de geometria molecular, relacionado ao "Molecular Distance Geometry Problem" (MDGP). Este problema está associado a uma técnica utilizada para o cálculo de estruturas de proteínas chamada Ressonância Magnética Nuclear (RMN), que fornece as distâncias entre átomos próximos da molécula de proteína. O problema é, então, determinar as coordenadas cartesianas de todos os átomos da molécula usando apenas as distâncias obtidas por RMN. Implementamos um algoritmo para o problema e já temos alguns resultados computacionais preliminares.

Ressonância magnética nuclear - Geometria molecular - Molecular distance geometry problem


E0391

CAPACIDADE DE CANAIS QUÂNTICOS


Thiago Resek Fabri dos Anjos () e Profa. Dra. Carlile Campos Lavor (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Um dos problemas relacionados à Capacidade de Canais Quânticos é a Tomografia de Processo Quântico. Tal problema surge quando desejamos descrever matematicamente um processo quântico qualquer a partir de dados mensuráveis em laboratório. Para que a transmissão de informação através de canais quânticos seja possível e eficiente, é necessário que saibamos minimizar o ruído, que também está presente no mundo quântico. Isto somente será possível se conhecermos em detalhes como tal processo de fato ocorre. Esta é uma das principais aplicações da tomografia de processo quântico: podemos, através dela, determinar como um processo quântico altera os q-bits nele envolvidos. Este estudo tem como objetivo estudar a fundo a Tomografia de Processo Quântico, buscando o entendimento do processo e o posterior desenvolvimento de um programa computacional para realizar todos os cálculos necessários. Primeiramente, realizamos um estudo teórico do problema, além de apresentarmos os fundamentos teóricos necessários para sua compreensão e resolução. Em seguida, passamos ao desenvolvimento dos programas computacionais, inicialmente em Maple. Foram desenvolvidos programas para os casos de 1 e 2 q-bits, e outro para o caso geral, com um número qualquer de q-bits.

Tomografia de processo quântico - Capacidade de canais quânticos - Teoria da informação quântica


E0392

GEOMETRIA CONVEXA E DE FINSLER


Diego Mano Otero (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Carlos Eduardo Duran Fernandez (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Analogamente à geometria Euclidiana, que se baseia no conceito “infinitesimal” associado a geometria Riemanniana, a geometria convexa consiste no conceito associado a geometria de Finsler, o que fisicamente corresponde ao estudo de problemas anisotrópicos. Dos vários assuntos estudados da geometria convexa alguns deles foram: a relação entre conjuntos convexos limitados e função norma que eles definem, a caracterização de um espaço de Minkowski, e equivalente definição desta, o conceito de transformação de Legendre, o conceito e propriedades do invariante I, que quantifica a diferencia entre o convexo dado e um elipsóide, os conceitos de comprimento e área, e sua relação em planos de Minkowski, o conceito de ortogonalidade em espaços de Minkowski e conceitos bem introdutórios de variedades de Finsler e sua relação com cálculo variacional. Resultados interessantes são obtidos através apenas da análise dos espaços de Minkowski tais como o teorema de Golab afirmando que em qualquer plano de Minkowski o comprimento do círculo unitário está entre os valores 6 e 8, para o caso euclidiano 6,28 i.e. 2*pi, (isto segue diretamente da observação que se temos duas curvas convexas c1 e c2 neste espaço e se c2 se encontra totalmente no interior de c1 então temos que o comprimento de c1 é maior que c2, fato este bem intuitivo mas difícil de ser provado), o teorema de Blaschke que mostra que o comprimento de uma curva suave pode ser calculado através da cardinalidade dos números de retas que intersectam a curva (resultado este que que ajuda a obter o anterior), as diferenças entre as os conceitos de ortogonalidade no plano de Minkowski (aceleração normal e normal de Minkowski) e algumas propriedades semelhantes encontradas na geometria Euclidiana, e um teorema semelhante ao dos quatro pontos de inflexão, mas este definido em um espaço de Minkowski com a definição de curvatura de Minkowski.

Geometria convexa - Espaços de Minkowski - Geometria de Finsler


E0393

SIMETRIAS EM GEOMETRIA DIFERENCIAL E FÍSICA


Douglas Mendes (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Carlos Eduardo Duran Fernandez (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O estudo de simetrias é uma maneira clássica e tradicional de se começar a análise de novos conceitos em Física, Matemática e ciências em geral. Este estudo iniciou-se historicamente com considerações combinatórias e geometria plana e espacial há alguns milhares de anos. Não obstante, seus princípios básicos continuam sendo básicos até hoje e estão sendo desenvolvidos em diversas direções. Matematicamente, o estudo de simetrias se dá através do estudo de grupos, uma estrutura algébrica que satisfaz algumas propriedades específicas. Isso, porque grupos aparecem na natureza como conjuntos de simetrias de um objeto geométrico. O ramo da Matemática que estuda tais entidades é denominado teoria de grupos. Muitas vezes, porém, é mais conveniente procurar por objetos sobre os quais um grupo arbitrário possa agir. Este princípio é tão importante que toda uma teoria foi desenvolvida para contemplá-lo: a teoria da representação. Com ela pode-se simplificar muitos dos problemas de teoria de grupos em problemas de álgebra linear, que é uma teoria muito bem compreendida. Este projeto vale-se intensamente destas duas teorias. Particular atenção é prestada aos grupos de isometrias cíclicos, diedrais e dos poliedros de Platão, todos os quais tiveram suas representações de permutação decompostas em representações irredutíveis.

Física matemática - Geometria diferencial - Simetrias


E0394

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO ELÍPTICO E A FUNÇÃO DE GREEN


Ana Luisa Soubhia (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O estudo das equações diferenciais se constitui num importante ramo da Matemática, a Análise. Podemos classificá-las, por exemplo, em duas grandes classes, a saber: uma delas relativa à linearidade e a outra envolvendo o número de variáveis independentes. Neste trabalho estudam-se as equações diferenciais parciais e lineares contendo apenas uma variável dependente e n variáveis independentes. O objetivo principal é estudar as equações diferenciais parciais, lineares e de segunda ordem, em particular, as equações do tipo elípitco, a partir do método de separação de variáveis. Particular atenção é dada ao estudo da equação de Laplace no caso tridimensional, de modo a obter, como solução da equação angular, os harmônicos esféricos. Como aplicação destes conceitos, construir a Função de Green livre. Espera-se que este trabalho possa vir a contribuir no estudo básico de equações diferenciais parciais em diversos sistemas de coordenadas e suas soluções, de onde emergem as chamadas funções especiais da Física-Matemática.

Equação diferencial - Harmônico esférico - Função de Green


E0395

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO ELÍPTICO E OS HARMÔNICOS ESFÉRICOS


Sarah Pereira Lourenço (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Muitos dos princípios que regem o comportamento do mundo físico estão relacionados às equações diferenciais que se constituem num importante ramo da Matemática, a Análise. Neste projeto, estudamos as equações diferenciais ordinárias e parciais, a fim de chegarmos a um dos tipos mais importantes de equação que ocorre, em particular, na Física e na Matemática Aplicada, a Equação de Laplace, exemplo característico de uma equação do tipo elíptico. A equação de Laplace foi escrita em coordenadas esféricas e, atendendo ao objetivo final do projeto, obtivemos, como solução da equação angular, os harmônicos esféricos, ferramenta fundamental para resolução de diversos problemas como, por exemplo, o campo de Coulomb e o átomo de hidrogênio, advindos da Física não-relativista.

Equações diferenciais - Equação de Laplace - Harmônicos esféricos


E0396

TRAJETÓRIAS DE CORPOS RÍGIDOS E RESSONÂNCIAS NO SISTEMA SOLAR


Rafael Soares Pinto (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Eduardo Guéron (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica - IMECC, UNICAMP
O spin, ou a rotação, de um planeta ou de um satélite enquanto orbita outro corpo é de fundamental importância para entender seu estado atual, e também prever sua evolução através de forças de maré. A maioria dos casos encontrados no sistema solar é bem descrita levando em conta apenas a interações de dois corpos, porém, em certas situações, como nos asteróides troianos de Júpiter, ou em alguns sistemas extra-solares, devido ao tipo da órbita, a interação com os demais corpos pode ser considerável. Nós estudamos então, como se dá a dinâmica do spin quando três corpos se movem na solução de Lagrange do problema de três corpos; onde, enquanto orbitam em elipses similares, com o foco no centro de massa, os corpos formam os vértices de um triângulo eqüilátero. A diferença mais importante é o surgimento de uma bifurcação no lugar da ressonância 1:1 (ou seja, uma rotação por translação). Como não existe a dependência da massa do corpo que está sendo estudada nas equações, é de se esperar que esta bifurcação ocorra, desde os asteróides de poucos quilômetros de extensão, até possíveis exo-planetas, com massa algumas vezes maior que Júpiter.

Gravitação - Acoplamento spin-órbira - Problema de três corpos


E0397

ESTUDO DA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART E CUSUM


Renato Yuji Koga e Prof. Dr. Emanuel Pimentel Barbosa (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O objetivo deste projeto é estudar os fundamentos teóricos e a implementação computacional de 2 ferramentas gráficas de controle estatístico de processos por variáveis, tipo Shewhart e CUSUM, os quais não são apresentados com total detalhe estatístico nos livros-texto sobre o tema, uma vez que os limites de controle desses gráficos envolvem constantes tabeladas não explicitamente definidas nesses livros-textos ou parâmetros a serem especificados. Em particular, de modo a dar mais transparência a esses procedimentos, são estudadas 3 constantes (funções do tamanho amostral n, que apresentam representação sob forma de integrais) envolvidas na especificação dos limites de controle de gráficos de Shewhart , a saber: d2(n) e d3(n) associadas à estatística amplitude amostral R, e c4(n) relativa à estatística S, assim como suas correspondentes implementações utilizando-se de 4 diferentes pacotes computacionais . Quanto aos gráficos de controle CUSUM, é estudada sua performance através da relação de seu comprimento médio de seqüência ou ARL com os parâmetros (H e K) de especificação do gráfico e o tamanho amostral n, o que também envolve o uso de métodos numéricos para lidar com integrais.

Qualidade - Shewart - Amplitude amostrall


E0398

PROGRAMAÇÃO LINEAR ESTOCÁSTICA


Flávia Cardoso () e Prof. Dr. Francisco A. M. Gomes (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Ciêntifica - IMECC, UNICAMP
Neste projeto,estudamos modelos que envolvem algum grau de incerteza, bem como os conceitos básicos relacionados à parte da programação linear conhecida como programação estocástica. Demos ênfase particular aos problemas com dois estágios. Estudamos, também, como adaptar um método de pontos interiores de forma a aproveitar as características dessa classe de modelos. Com isso, fomos capazes de implementar um algoritmo prático e eficiente para a solução de problemas estocásticos aplicados, tais como aqueles encontrados na operação de frotas de aeronaves, no controle de reservatórios, no planejamento da produção, etc. Elaboramos uma interface com o formato SMPS, habitualmente usado para descrever problemas lineares estocásticos, de modo a permitir que o programa fosse usado para resolver problemas com milhares de varáveis, extraídos de bibliotecas disponíveis na internet. Os resultados da aplicação do algoritmo foram promissores.

Programação linear - Programação estocástica - Métodos de pontos interiores


E0399

TUBERCULOSE E RESISTÊNCIA AO TRATAMENTO: MODELAGEM MATEMÁTICA


Marcio Rodrigues Sabino(Bolsista PIBIC/CNPq), Profa. Dra. Silvia Martorano Raimundo (Co-orientadora) e Prof. Dr. Hyun Mo Yang (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O uso inadequado de medicamentos ou o abandono ao tratamento são considerados fatores importantes no controle da Tuberculose (TB), pois possibilitam o aparecimento da Tuberculose multiresistente ao tratamento (TBMR) ou Multidrug – Resistant Tuberculosis (MDRTB). Definida na literatura internacional como uma doença resistente no mínimo à rifampicina (RFP) e à isoniazida (INH), dupla de maior potencial bactericida e esterilizante no tratamento da doença. Atualmente a TBMR é considerada um fator de preocupação, seja pela possibilidade de disseminação de cepas multirresistentes (MR), como pelas dificuldades de se estabelecer esquemas terapêuticos eficazes e efetivos. No ano de 2000, para um total de 8,7 milhões de novos casos de tuberculose, estimou-se um contingente global de 273.000 de casos de TBMR. Neste trabalho desenvolve-se um modelo matemático com o objetivo de estudar a dinâmica de transmissão e o controle da TBRM na população. O modelo é descrito por um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares, onde a população total está dividida em indivíduos suscetíveis à doença, vacinados, com TB e TBMR. Utilizando a análise qualitativa investiga-se a existência e estabilidade dos pontos de equilíbrio trivial e não triviais.

Modelagem matemática - Tuberculose - Resistência ao tratamento


E0400

MODELAGEM MATEMÁTICA NA ADMINISTRAÇÃO DE RISCO ATRAVÉS DO VALUE AT RISK (VAR) NO MERCADO FINANCEIRO


Rafael Mora de Andrade (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Laércio Luis Vendite (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Algoritmos de otimização em administração de carteiras de investimento estão cada vez mais em evidência, devido à crescente preocupação com o desempenho de fundos de ativos financeiros de risco em um mercado integrado e altamente competitivo. E com a finalidade de mensurar risco de mercado, grande parte dos acadêmicos e profissionais do mercado financeiro passaram a utilizar a metodologia do Value at Risk (Valor no Risco ou VaR). O objetivo deste projeto foi estudar as Teorias do Risco e de Carteiras com a finalidade de encontrar o melhor método de administrar o risco através do VaR e de modelos estatísticos e matemáticos, obtendo vantagens e desvantagens e suas aplicações. Inicialmente estudei Matemática Financeira voltada para análise de investimentos, envolvendo situações de risco ou incerteza, e conceitos de probabilidade e estatística. Sendo assim foi possível caracterizar riscos de variáveis financeiras básicas, como taxa de juros, taxas de câmbio e preço de ações. E através de ferramentas de pesquisa operacional comprovei que é possível diminuir consideravelmente o risco do investimento em ações através da utilização de carteira com vários ativos com a melhor relação retorno-risco. Em seguida, através de uma distribuição normal, obtive o cálculo formal do VaR, e então verifiquei a consistência entre as perdas observadas e as perdas previstas, e comparei os resultados obtidos pelo VaR e por Markowitz, baseado na administração de carteiras, cada um tendo suas vantagens e desvantagens.

Modelagem matemática - Teoria do risco - Administração de carteiras


E0401

AJUSTE DE PORTFOLIOS COM MÉTODOS DE CÁLCULO DE VALUE-AT-RISK (VAR)


Tiago Fassoni Alves dos Alencar Leite (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Laércio Luis Vendite (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Value-at-Risk (VaR) é uma medida da quantidade máxima de dinheiro que pode ser perdida em um investimento em um certo período de tempo, assumindo situações “normais” de mercado. Em suma, é uma tentativa de prever o futuro para tentar evitar prejuízos assombrosos em um portfolio. Neste projeto estudamos a Teoria de Risco e vários métodos de cálculo de VaR. Após isso, estudamos abordagens de ajuste de portfolios utilizando os métodos de cálculo.

Value-at-Risk - Matemática financeira - Teoria de risco


E0402

LOCALIZAÇÃO DE INOMOGENEIDADES EM TOMOGRÁFIA MÉDICA


Jonas Oliveira Rodrigues (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A Tomografia Computadorizada é um meio não incisivo de se obter informações do interior de um determinado corpo, em especial, do corpo humano. Na medicina, é uma das mais importantes ferramentas de diagnóstico por imagem. Do ponto de vista matemático, os dados fornecidos por um tomógrafo são a transformada de Radon da imagem original. O projeto consiste em obter essa imagem a partir de sua transformada. Embora existam métodos gerais que resolvam esse problema, esses são computacionalmente caros. Em casos específicos, é interessante explorar alternativas mais simples e baratas. Nesse trabalho, analisamos o caso particular em que a imagem consiste de pequenas inomogeneidades imersas em um meio homogêneo. Dois casos são estudados: as posições são conhecidas e devemos estimar as densidades de cada inomogeneidade; tanto a localização quanto a densidade dos pontos devem ser estimadas. Analisamos e implementamos (em Matlab) um método simples e eficiente que reconstrói a imagem a partir de sua Transformada de Radon.

Tomografia computadorizada - Radon - Delta de Dirac


E0403

TEORIA DE REPRESENTAÇÕES E GEOMETRIA ALGÉBRICA


Felipe Augusto Moreira da Silva (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Marcos Benevenuto Jardim (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica - IMECC, UNICAMP
Álgebra é uma das grandes áreas da matemática, e possui várias aplicações tanto a outras áreas da matemática como também da física. Por exemplo, a teoria de álgebras e grupos de Lie se iniciou no final do século 19 com o propósito de estudar equações diferenciais do ponto de vista de seus grupos de simetria e posteriormente mostrou ser uma poderosa ferramenta em diversas áreas da matemática e física, além de ter se tornado uma interessante área de pesquisa por si mesma. Atualmente, de particular interesse são as chamadas álgebras de Kac-Moody afins, que são estrutura algébrica por trás de muitas áreas da física como teoria conforme de campos e modelos integráveis da mecânica estatística. O projeto visa estudar álgebras de Lie e álgebras associativas aplicando-as em teoria de representações e geometria algébrica. O principal dessa teoria são quivers e suas representações. Quivers são grafos orientados, e, de forma simplificada, uma representação de um quiver é apenas uma coleção de matrizes. Nesse projeto estudaremos alguns exemplos de quivers e suas representações, procurando em particular quivers associados às álgebras de grupos finitos.

Álgebra de Lie - Teoria de representações - Álgebra associativa


E0404

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE


Daniela Midori Kamioka (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Maria Aparecida Diniz Ehrhardt (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Nosso interesse neste trabalho foi destacar o papel dos multiplicadores de Lagrange em diferentes aspectos da Programação Matemática: nas condições de otimalidade para problemas com restrições, na teoria de dualidade e em algumas aplicações. No final, o método do Lagrangiano Aumentado foi abordado. Métodos desse tipo fazem parte da classe de métodos de penalização: resolvem uma seqüência de subproblemas irrestritos, onde os vetores de multiplicadores de Lagrange e os parâmetros de penalidade são fixos durante a resolução dos subproblemas e atualizados a cada iteração externa. Entre os vários algoritmos que podem ser usados para a resolução dos subproblemas irrestritos, escolhemos um procedimento do tipo Quase-Newton. A partir da implementação computacional do Lagrangiano Aumentado, experimentos numéricos foram realizados com o objetivo de analisar seu desempenho.

Multiplicadores de Lagrange - Dualidade - Lagrangiano aumentado


E0405

CONJUNTOS DECOMPOSTOS – TOPOLÓGICA E GEOMETRICAMENTE


Bruna Comerlato dos Santos (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Maria Sueli Marconi Roversi (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Um conjunto pode ser descrito especificando diretamente seus elementos ou pontos, ou por meio da relação entre as suas partes, no caso em que há uma infinidade de pontos cuja organização é bem complicada. O universo de tais conjuntos é o dos espaços métricos, de estrutura rigorosa, porém de caráter geométrico relativamente simples e intuitivamente acessível. Algumas propriedades topológicas pontuais como ponto de acumulação e ponto isolado, e de estrutura como aberto, fechado, compacto e perfeito, são básicas para a descrição de subconjuntos com características interessantes e caráter geométrico complicado. O conjunto de Cantor, um exemplo de particular importância, é definido como um subconjunto do intervalo real fechado [0,1], obtido por um processo de remoção sucessiva de intervalos, no qual a cada estágio é removido o terço médio aberto de cada intervalo fechado dos remanescentes do estágio anterior. Características como todo ponto é de acumulação, não contém nenhum intervalo real e a soma dos comprimentos dos intervalos retirados é 1, são destaques desse conjunto. Alguns desses conjuntos especiais também podem ser construídos através de transformações entre espaços métricos.

Métricas - Conjuntos decompostos - Operador linear


E0406

INTRODUÇÃO AOS FRACTAIS E SUA GEOMETRIA


Victor de Souza Rios (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Maria Sueli Marconi Roversi (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A Geometria trata de tornar as intuições espaciais objetivas: a geometria clássica pode ser interpretada como uma linguagem usada para uma primeira aproximação às estruturas encontradas na natureza, enquanto a geometria dos fractais constitui uma extensão desta. Nos espaços estruturados de modo similar ao do plano euclidiano, no sentido de poder realizar medidas e utilizar recursos geométricos acessíveis, surgem subconjuntos especiais com características similares mas de caráter geométrico complicado. A descrição e classificação desses conjuntos são baseadas em propriedades topológicas importantes e podem ser realizadas tanto do ponto de vista particular quanto de uma nova classe especial, estruturada através de uma métrica. No caso particular podemos citar o conjunto de Cantor na reta real. No contexto de classes, o estudo da ação de algumas transformações geométricas sobre conjuntos, e não sua definição pontual, constitui uma ferramenta importante na análise de certos subconjuntos “complicados” em espaços geometricamente simples.

Espaço métrico - Fractais - Transformações geométricas


E0407

TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DE DOOB PARA SUPERMARTINGALES L1


Rafael Andretto Castrequini (Bolsista PIBIC/CNPq), Alberto Masayoshi Faria Ohashi (Colaborador) e Prof. Dr. Pedro José Catuogno (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Teoria de Martingales é uma ferramenta de grande importância pelo fato de que se enquadra em vários contextos, como por exemplo: Teoria de Probabilidade, Analise Funcional, Teoria da Difusão, Teoria de equações diferenciais parciais, etc.. Nesse projeto estudamos alguns princípios básicos do cálculo estocástico e suas aplicações na Teoria de equações diferenciais estocásticas. Para exemplificar nosso trabalho, apresentaremos um resultado fundamental da Teoria de Martingales, o teorema de convergência de Doob: Seja X=(Xn) um supermartingale para a filtração {Fn} limitado em L1(Ω,F,P), onde (Ω,F,P) é um espaço de probabilidade. Então existe o limite limXn q.c. e é finito. Ainda mais se definirmos X(ω):=limsupXn(ω) para todo ω em Ω, então X=limXn e é finito. No caso que. X=(Xn) um martingale temos que E( X| Fn ) = Xn. É de grande importância o conhecimento da variável aleatória X, pois ela retém toda a informação que o processo X oferece.

Martingale - Doob - Probabilidade


E0408

ANÁLISE NUMÉRICA DE MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES


Luciane Suga (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Petronio Pulino (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O uso de instrumentos chamados de derivativos em mercados financeiros modernos se tornou tão importante que o seu volume cresceu para ser comparável com os chamados mercados primários. Um dos problemas centrais em mercados de derivativos é o de precificação. Ele envolve técnicas matemáticas bastante sofisticadas tais como Análise Estocástica, Equações Diferenciais Parciais e Programação Matemática. Nesse trabalho, o objetivo foi despertar o interesse na investigação dos modelos matemáticos originários do mercado financeiro, mais especificamente o Modelo de Black & Scholes. Este modelo representa a contribuição mais importante para precificação de opções. Foi estudado a sua formulação e suas aplicações na elaboração de projetos de investimentos. As simulações numéricas do modelo de Black & Scholes foram realizadas através dos Esquemas de Diferenças Finitas para Problemas de Advecção-Difusão e também por métodos analíticos. Assim, pudemos fazer uma análise do desempenho dos esquemas numéricos propostos comparando os resultados da solução numérica com a solução analítica.

Diferenças finitas - Precificação de opções - Black & Scholes


E0409

DINÂMICA DE DISCO DE ACREÇÃO E JATOS EM UM AGLOMERADO DE GALÁXIAS


Aída Rita Tedesco Silva (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática Aplicada, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Apresentamos um modelo matemático simples (toy model) para a dinâmica de gases em um aglomerado de galáxias com um Buraco Negro central com a análise da dinâmica de discos de acreção, a troca de momentum angular e energia entre o disco e o buraco negro, a ejeção de matéria pelos pólos. O objetivo é estudar freqüências temporais e comprimentos espaciais característicos do modelo e a dinâmica do sistema de equações ordinárias do modelo construído.

Usamos aproximações em torno de soluções estacionárias.

Buraco negro - Astrofísica - Disco de acreção

E0410

Funções Especiais e Soluções Aproximadas


André Devito (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Estudamos soluções aproximadas de equações diferenciais lineares, em termos das funções especiais. O objetivo deste projeto é analisar algumas propriedades de funções harmônicas, em duas, três e quatro dimensões e a possibilidade de serem base para espaços de funções com vínculos impostos por operadores diferenciais. Como aplicação, analisamos o sistema gravitacional terrestre em coordenadas cilíndricas. Usamos truncamento e linearizacões descrever os movimentos de satélites artificiais no plano equatorial.

Funções de Bessel - Gravitação - Equações diferenciais


E0411

MODELAGEM, APROXIMAÇÃO E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DA EVOLUÇÃO DO MOVIMENTO DE POLUENTES SOBRE ESPÉCIES INTERATIVAS: UM CASO NA BAÍA DE SEPETIBA


Luciana Takata Gomes (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Silvio de Alencastro Pregnolatto (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Dando continuidade a projeto anterior de iniciação científica, orientador e aluna visam, através de método diferente (Elementos Finitos) ao já trabalhado, simular comportamentos de plumas poluentes e de populações afetadas pela toxicidade da substância, presentes na Baía de Sepetiba/RJ. Tem-se por objetivos a modelagem matemática do comportamento evolutivo de plumas poluentes em ambientes aquáticos e seu efeito em termos de toxicidade em dinâmicas populacionais de espécies locais; correspondente aproximação numérica do sistema de EDP's; uso do programa desenvolvido para auxiliar na discussão de estabelecimento ações necessárias para contingência e o aprendizado geral do comportamento de fenômenos de difusão-advecção. Foram realizadas a discretização do domínio (software Gmesh) e dos operadores temporais e espaciais da poluição e de uma população sob o efeito tóxico e implementação do código computacional em ambiente Matlab. A partir de um nível de toxicidade do poluente e de sua quantidade, torna-se irreversível o processo de desaparecimento de uma população, reforçando a idéia da necessidade de uma discussão acerca do impacto da ação humana e medidas a serem tomadas.

Modelagem matemática - Equações diferenciais parciais - Ecologia matemática






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