Variáveis aleatórias e suas distribuições



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Variáveis aleatórias
Uma variável cujos valores referem-se a eventos aleatórios é chamada variável aleatória; seus valores dependem dos resultados de um experimento. Pode ser discreta ou contínua, dependendo dos valores que ela assume.

Variável aleatória discreta




1. Definição
Muitos experimentos produzem resultados não numéricos. Antes de analisá-los é conveniente transformar seus resultados em números. Para isso devemos associar a cada resultado elementar (ei) do espaço amostral () um número real, o que é feito por meio de uma regra ou função denominada variável aleatória. Considerando, por exemplo, o experimento inspecionar sanitariamente o embarque de 10 animais, pode-se definir uma variável aleatória como número de animais sadios. Trata-se de uma variável aleatória discreta, porque ela pode assumir o número finito de valores: 0, 1, 3, ..., 10.
Exemplo 1. Como outro exemplo de variável aleatória discreta, consideremos o cruzamento Aa x Aa, onde o conceito é ilustrado com um espaço amostral com 4 resultados elementares, ou seja:
 = {AA, Aa, aA, aa}


X(ei)

em que X denota o número de genes A no genótipo. Assim definida, X é uma variável aleatória discreta.

Note que para ser discreta, a variável aleatória (v.a.) deve assumir valores em um conjunto finito ou infinito, porém contável.


O passo fundamental para entendermos uma v.a. é associar a cada valor de X sua probabilidade, obtendo o que se chama uma distribuição de probabilidade.

2. Distribuição de probabilidade
Definição. É uma relação dos distintos valores xi de X junto com as suas respectivas probabilidades p(xi), com
Exemplo 2. Considerando os descendentes de Aa x Aa, a distribuição do número de genes A nos genótipos (X) é idêntica à distribuição de genótipos, ou seja


Genótipos

AA

Aa

aa

Total

X = xi

2

1

0




P(X = xi) = p(xi)

1/4

1/2

1/4

1,0

em que: p(xi) é chamada função de probabilidade, que a cada valor de xi associa sua probabilidade de ocorrência.


A distribuição de probabilidade mostra-nos como a probabilidade total (1,0) é distribuída de acordo com os diferentes valores da variável aleatória.

Freqüentemente, uma fórmula matemática pode ser usada para representar, em lugar de uma tabela, uma distribuição de probabilidade.


2.1. Representação gráfica de uma distribuição de probabilidade


  1. Gráfico de barras

Gráfico de barras para a distribuição dada no Exemplo 2

(b) Histograma




Área = 0,5

Histograma para a distribuição dada no Exemplo 2

Quando o espaçamento entre os valores de X difere de 1,0, tal como na

seguinte distribuição de probabilidade


X

0

0,5

1,0

1,5

2,0

p(x)

0,1

0,2

0,3

0,25

0,15

histograma é traçado como:




Área

= 0,6 x 0,5

= 0,3

Ou seja, as alturas dos retângulos são determinadas dividindo-se as probabilidades p(x) pelas bases dos mesmos.

O histograma é recomendado para distribuições com valores de X igualmente espaçados. Caso contrário, o gráfico de barras deve ser usado.
3. Esperança matemática
Exemplo 3. Seja uma população finita de N indivíduos


Genótipos

AA

Aa

aa

Total

Número

n1

n2

n3

N

X = xi

2

1

0



Denotando X o número de genes A no genótipo, o número médio de genes A () é:


Esta é a média para uma população finita de tamanho N. Considerando um modelo de população infinita, as freqüências relativas ni/N (i = 1, 2, 3) podem se aproximar de limites que são probabilidades P(X = xi) = p(xi), onde xi = 2, 1, 0, e se aproximará de um limite que é chamado Esperança de X (isto é, o número esperado de genes A em uma população infinita). O resultado pode ser generalizado na seguinte definição:
Definição. A média de uma v.a. X ou de sua distribuição de probabilidade, também chamada valor esperado ou esperança matemática ou simplesmente esperança de X, E(X), é definida como

E(X) é usada como medida do centro da distribuição de probabilidade. Por isso, é também chamada média populacional e simbolizada por . Na verdade, E(X) é uma média hipotética que pode nunca ser observada, mas é “esperada” em uma população.


Exemplo 4. Usando a distribuição de probabilidade dada no Exemplo 2

O número esperado de genes A nos descendentes de Aa x Aa é igual a 1.
3.1. Propriedades da esperança
Se a e b são constantes e X uma v.a., então:

i. E(a) = a

ii. E(bX) = b . E (X)

iii. E(X + a) = E(X) + a

iv. E(a + bX) = a + bE(X)

v. E(a + bX + cX2) = a + bE(X) + cE(x2)


4. Variância
Definição. A variância de uma v.a. X ou a medida de dispersão de sua distribuição de probabilidade, representada por 2X, é definida por
2X = Var (X) = E[(X - )2]
A variância pode ser calculada de dois modos:
(a)

(b)


O desvio padrão () é a raiz quadrada positiva da variância.
Exemplo 5. Seja a distribuição de probabilidade do Exemplo 2, então

2X = ou




4.1. Propriedades da variância
Para a e b denotando constantes e X uma v.a.,
i. Var(X) não pode ser negativa

ii. Var (X + a) = Var (X)

iii Var (b.X) = b2. Var (X)

iv. Var (a + b.X) = b2. Var (X)


Exemplo 6. Um revendedor de produtos veterinários recebe de vários laboratórios certo tipo de antibiótico, que tem custo diferenciado. Levando-se em conta a proporção fornecida e o preço apresentado por cada laboratório, pode-se considerar que o custo de uma dose de antibiótico em reais, escolhida ao acaso, é uma variável aleatória C. Admitindo a seguinte distribuição de probabilidade para C:

ci

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

p(ci)

0,2

0,3

0,2

0,2

0,1

  1. Determinar a média e a variância da variável aleatória C:




E(C) = 1,0.0,2 + 1,1.0,3 + 1,2.0,2 + 1,3.0,2 + 1,4.0,1= 1,17

Var(C) = [(1,02.0,2 + 1,12.0,3 + 1,22.0,2 + 1,32.0,2 + 1,42.0,1) – 1,172] = 0,016



(b) Supondo que o revendedor venda cada um desses antibióticos acrescentando 50% sobre o custo, além de um adicional de R$ 0,10 pelo frete, calcular a média e a variância da nova variável aleatória preço de revenda R.

ri = 1,5ci + 0,10. Assim, usando as propriedades da média e da variância:

E(R) = 1,5.E(C) + E(0,10) = 1,5. 1,17 + 0,10 = 1,855

Var(R) = 1,52.Var(C) = 1,52.0,016 = 0,036



Distribuições teóricas de probabilidades de variáveis aleatórias discretas

Nas diversas áreas de pesquisa é comum o aparecimento de variáveis aleatórias discretas, como resultados de experimentos aleatórios. Assim, para um dado experimento, deve-se verificar se ele satisfaz as condições dos modelos probabilísticos conhecidos, pois isso facilitaria muito sua análise. Por modelo probabilístico para uma variável aleatória X, entende-se como uma forma específica de função de distribuição de probabilidade que reflita o comportamento de X. Aqui, serão estudados alguns desses modelos, procurando enfatizar as condições em que aparecem, suas funções de probabilidades, parâmetros, e como calcular probabilidades.


1. Distribuição de Bernoulli
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório, onde há somente dois resultados possíveis, designados por: Sucesso (S) e Fracasso (F). O uso destes termos é sugerido apenas por conveniência e não têm a mesma conotação de sucesso e fracasso na vida real. Habitualmente, o resultado de interesse principal é rotulado como sucesso, mesmo que se trate de um evento indesejável. Por exemplo:


  1. testa-se um antibiótico em um indivíduo, a reação ou é positiva (S) ou é negativa (F);

  2. observa-se um nascimento, o recém-nascido ou é macho (F) ou é fêmea (S); e

(c) um animal é escolhido, ao acaso, de um lote contendo 50 animais, o

animal é doente (S) ou não (F).

Em todos estes casos, estaremos interessados na ocorrência de um sucesso ou fracasso. Assim, para cada experimento, podemos definir uma variável aleatória X : o número de sucessos, que assume apenas dois valores, o valor 1 se ocorre sucesso (S) e o valor 0 (zero) se ocorre fracasso (F), sendo P(S) = p,

0 < p <1. Ou seja,

X = com P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1 – p = q
Nestas condições, a variável aleatória X com a função de probabilidade:


ou P(X = x) = px . q1 – x





X

0 1

Total

p(x)

q p

1,0

é chamada variável aleatória de Bernoulli.



Experimentos que resultam numa variável aleatória de Bernoulli são chamados ensaios de Bernoulli.
1.1. Esperança e variância
= 0.q + 1.p = p
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = (02. q + 12. p) – p2 = p – p2 = p (1 – p) = p.q
2. Distribuição binomial
Quando um número fixo n de ensaios de Bernoulli são repetidos, supondo que as repetições sejam independentes (isto é, o resultado de um ensaio não tem influência no resultado de qualquer outro), com P(S) = p e P(F) = q em cada ensaio, pode-se considerar a variável aleatória X, que representa a contagem do número de sucessos em n ensaios. Os possíveis valores de X são os inteiros 0, 1, 2,..., n. A distribuição de probabilidade de X é chamada distribuição binomial com n ensaios e probabilidade de sucesso p.
Para deduzir uma fórmula para P(X = x), onde x = 0, 1, 2, ..., n, ou seja, x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, consideremos n = 4 ensaios, cada um dos quais podendo resultar em S ou F. Há 2 x 2 x 2 x 2 = 16 resultados possíveis, os quais estão relacionados nas colunas abaixo, de acordo com o número de sucessos (S):

FFFF

SFFF

SSFF

SSSF


SSSS







FSFF

SFSF

SSFS










FFSF

SFFS

SFSS










FFFS

FSSF

FSSS













FSFS
















FFSS










Valor de X (número de S)

0

1

2

3

4

Prob. de cada seqüência

q4

pq3

p2q2

p3q

p4

Número de seqüências





1=

4=

6=

4=

1=

Como os ensaios são independentes e em cada ensaio P(S) = p e P(F) = q, a probabilidade de cada seqüência, por exemplo na terceira coluna, que tem 2 S’s e 2 F’s é P(SSFF) = P(S).P(S).P(F).P(F) = p2q2. Da mesma maneira, a probabilidade de cada seqüência individual nesta coluna é p2q2. Há seis seqüências, assim obtêm-se P(X = 2) = 6 p2q2. O fator 6 é o número de

seqüências com 2 S’s e 2 F’s. Mesmo sem fazer uma listagem completa das seqüências, pode-se obter esta contagem, notando que os dois lugares onde S ocorre, podem ser selecionados de um total de 4 lugares em = 6 maneiras, cada um dos remanescentes 2 lugares sendo sempre preenchidos com um F. Assim procedendo em relação às demais colunas, a distribuição binomial com n = 4 ensaios, pode ser disposta na forma da tabela apresentada a seguir:
Distribuição binomial com n = 4 ensaios:


X

0

1

2

3

4

P(X = x)

p0q4

p1q3

p2q2

p3q1

p4q0

Estendendo o raciocínio para o caso geral de n ensaios de Bernoulli, observa-se que há seqüências que tem x sucessos e (n - x) fracassos e que a probabilidade de cada seqüência é px.qn-x. Portanto,



para x = 0, 1, 2,..., n
Denota-se esta probabilidade por b(x; n, p), e quando X tem distribuição binomial com os parâmetros n e p escreve-se X : b(n, p).

O termo distribuição binomial é originado do “teorema da expansão binomial”:




Considerando, em particular, a = q e b = p, esta fórmula produz:

Os termos sucessivos do lado direito desta fórmula são as probabilidades binomiais. Como p + q = 1, , como seria para qualquer distribuição de probabilidades.

Ilustração da maneira pela qual os valores de p influenciam a forma da distribuição binomial:




(a) n = 6, p = 0,5 (q = 0,5)
(
b) n = 6, p = 0,3 (q = 0,7)

(
c) n = 6, p = 0,7 (q = 0,3)



Quando p = 0,5 (Figura a), a distribuição binomial é simétrica; se o valor de p em um histograma tem o mesmo valor de q em outro (Figuras b e c), as probabilidades são exatamente as mesmas, mas dispostas de forma invertida. Isto ilustra a propriedade geral da distribuição binomial: quando p e q são alternados, a distribuição de probabilidades é invertida. Então, pode-se estabelecer a relação geral b (x; n, p) = b (n - x; n, 1 - p).



2.1. Uso da tabela binomial
A Tabela 1 dá os valores de b(x; n, p) para n = 1 a 20 e p = 0,05; 0,10; 0,15; ...; 0,50. Quando p> 0,50, usa-se:
b(x; n , p) = b(n - x; n, 1 - p)
Exemplificando, b(2; 6, 0,7) = b(4; 6, 0,3) = 0,0595
2.2. Esperança e variância
A média e a variância de uma distribuição binomial são dadas por:

E(X) = n.p e Var(X) = n.p.q

Para justificar essas fórmulas, consideremos que uma variável aleatória X que representa o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli pode ser denotada por: X = X1 + X2 + ...+ Xn, onde Xi é o número de sucessos no i-ésimo ensaio (Xi = 0 ou 1). Como os ensaios são independentes, X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo distribuição de Bernoulli, em que E(Xi) = p e Var(Xi) = pq. Usando as propriedades de esperança e variância da soma de variáveis aleatórias, obtém-se:


E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = p + p +... + p = n.p

Var(X) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn) = pq + pq +... + pq = n.p.q

Exemplo 1. Ocorrendo 3 nascimentos a partir do acasalamento Aa x aa, qual a probabilidade de se obter 3 descendentes Aa?


P(Desc.Aa/Acas.Aa x aa) = p = 1/2

E(X) = n.p = 3.1/2 = 3/2 e Var(X) = n.p.q = 3.1/2.1/2 = 3/4
A extensão para mais do que dois eventos (ou classes) é direta e é dada pela distribuição multinomial. Se p1 é a probabilidade associada com a acorrência do evento 1, p2, a probabilidade do evento 2, p3, a probabilidade do evento 3 e assim por diante, então, a probabilidade que em n ensaios independentes, o evento 1 ocorra x1 vezes, o evento 2, x2 vezes, o evento 3, x3 vezes, e assim por diante, é:

onde:  xi = n , pi = 1. Esta probabilidade é um termo na expansão de .


Exemplo 2. O grupo sanguíneo MN na população humana, onde os acasalamentos são praticamente ao acaso, apresenta os seguintes fenótipos e as respectivas probabilidades esperadas de ocorrência:


Fenótipo

Probabilidade




onde: p é a freqüência do alelo M e q é a freqüência do alelo N

MM

p2




MN

2pq




NN

q2



Considerando uma amostra aleatória de n indivíduos dessa população, a probabilidade de que x1 deles sejam MM, x2 MN e x3 NN, onde x1 + x2 + x3 = n, é: .




3. Distribuição de Poisson
Consideremos as seguintes variáveis aleatórias:
X1: o número de mutações num locus por geração,

X2: o número de glóbulos vermelhos observados em cada quadrado de um hemocitômetro, e

X3: o número de bactérias em um litro de água não-purificada,
onde: Xi = x, x = 0, 1, 2, 3, ...
O comportamento dessas variáveis aleatórias, as quais representam o número de ocorrências de eventos em um intervalo de tempo ou no espaço (superfície ou volume), pode ser descrito pela chamada distribuição de Poisson, cuja função de probabilidade é:
, x = 0, 1, 2, 3, . . .
onde: e = 2,71828 e é o parâmetro da distribuição, que representa o número médio de ocorrências do evento por unidade de tempo ou espaço.
Propriedades:


  1. A probabilidade de ocorrência é a mesma para dois intervalos quaisquer de comprimentos iguais.

  2. A ocorrência ou não em determinado intervalo é independente da ocorrência ou não em outro intervalo.

Uma suposição que se faz usualmente em relação a essa distribuição é que a probabilidade de se obter mais de um evento num intervalo muito pequeno é desprezível.

3.1. Esperança e Variância

Se X é uma variável aleatória com distribuição de Poisson e parâmetro , então, E(X) =  e Var (X) = . Ou seja, o número médio e a variância de ocorrências de eventos por unidade de tempo (ou espaço) são iguais () e constantes ao longo do tempo (ou espaço).

Exemplo 1. Supondo que o número médio de bactérias por litro de água purificada é 2, qual é a probabilidade que 5 ou mais bactérias sejam encontradas em uma amostra de 3 litros de água?


Sendo  = 2.3 = 6, o número médio de bactérias em 3 litros de água, então:

= 1- 0,2851 = 0,7149
Exemplo 2. Em uma população, seja X o número de descendentes produzidos por família/geração. Assumindo que    2, qual a probabilidade de famílias com X  4 descendentes?
P(X  4)   0,0902
3.1. Distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial
Algumas vezes, no uso da distribuição binomial, ocorre que n é muito grande e p é muito pequeno, de modo que q é próximo de 1. Em tais casos, o cálculo torna-se muito difícil. Pode-se, então, fazer uma aproximação da distribuição binomial pela Poisson, ou seja,

A aproximação é boa, se n.p    7.
Exemplo 1. Sabendo-se que a probabilidade de um animal ter reação negativa a certa vacina é de 0,001, determinar a probabilidade de que, de 2000 animais injetados, mais do que quatro tenham reação negativa.
n.p    2000 . 0,001  2

= = 0,055

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